Étude de la dispersion en statistiques

Introduction

En statistiques, la dispersion désigne la manière dont les données sont réparties autour d'une valeur centrale, souvent la moyenne. Elle permet de mesurer la variabilité ou l'homogénéité d'une série de données.

Les principales mesures de dispersion

1. La différence entre le maximum et le minimum (étendue)

Elle se calcule comme :

Étendue = maximum - minimum

2. La variance

La variance mesure la moyenne des carrés des écarts à la moyenne :

\[ \sigma^2 = rac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - ar{x})^2 \]

3. L'écart-type

C'est la racine carrée de la variance :

\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]

Exemple d'application

Soit les notes de 5 élèves : 12, 14, 15, 10, 13.

- La moyenne :

\[ ar{x} = rac{12 + 14 + 15 + 10 + 13}{5} = rac{64}{5} = 12,8 \]

- La variance :

\[ \sigma^2 = rac{1}{5} \left( (12 - 12,8)^2 + (14 - 12,8)^2 + (15 - 12,8)^2 + (10 - 12,8)^2 + (13 - 12,8)^2 ight) \]

calculons chaque terme :

• (12 - 12,8)^2 = 0,64
• (14 - 12,8)^2 = 1,44
• (15 - 12,8)^2 = 4,84
• (10 - 12,8)^2 = 7,84
• (13 - 12,8)^2 = 0,04

La somme :

\[ 0,64 + 1,44 + 4,84 + 7,84 + 0,04 = 14,8 \]

Variance :

\[ \sigma^2 = rac{14,8}{5} = 2,96 \]

L'écart-type :

\[ \sigma = \sqrt{2,96} pprox 1,72 \]

Conclusion

Les mesures de dispersion, comme l'étendue, la variance et l'écart-type, permettent d'analyser la variabilité des données et sont essentielles en statistiques pour interpréter la stabilité ou la diversité des ensembles de données.