Étude de la dispersion en statistiques pour la 3ème
Étude de la dispersion en statistiques
Introduction
En statistiques, la dispersion d'une série de données représente la manière dont les valeurs sont réparties autour d'une valeur centrale, généralement la moyenne. Elle permet d'analyser la variabilité des données.
Les mesures de dispersion
Les principales mesures de dispersion sont :
- L'étendue
- La variance
- L'écart-type
L'étendue
L'étendue est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale d'une série de données :
\( E = x_{max} - x_{min} \)
La variance
La variance mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne. Elle se calcule ainsi :
\[ \sigma^2 = rac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - ar{x})^2 \]
où :
- \(\sigma^2\) est la variance
- \(ar{x}\) est la moyenne
- \(x_i\) désignent les valeurs de l'échantillon
- \(n\) est le nombre de valeurs
L'écart-type
L'écart-type est la racine carrée de la variance, elle se calcule par :
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]
Interprétation
Une dispersion faible signifie que les valeurs sont proches de la moyenne. Une dispersion importante indique une grande variabilité des données.
Exemple
On considère les notes : 12, 15, 14, 10, 13.
- Calcul de la moyenne :
- Étendue :
- Variance :
- Écart-type :
\( ar{x} = rac{12 + 15 + 14 + 10 + 13}{5} = rac{64}{5} = 12,8 \)
\( E = 15 - 10 = 5 \)
\( \sigma^2 = rac{1}{5}[(12 - 12,8)^2 + (15 - 12,8)^2 + (14 - 12,8)^2 + (10 - 12,8)^2 + (13 - 12,8)^2] \)
\(= rac{1}{5}[0,64 + 4,84 + 1,44 + 7,84 + 0,04] = rac{14,8}{5} = 2,96 \)
\( \sigma = \sqrt{2,96} pprox 1,72 \)
Conclusion
La dispersion permet de mieux comprendre la variabilité d'une série de données. Les mesures comme l'étendue, la variance et l'écart-type donnent des indications différentes sur cette variabilité.
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