Étude de la fonction carré (\(f(x) = x^2\))

1. Définition

La fonction carré, notée \(f\), est définie par :
\[f: \mathbb{R} o \mathbb{R} \quad ext{avec} \quad f(x) = x^2.\]

2. La courbe représentative

La représentation graphique de \(f(x) = x^2\) est une parabole qui ouvre vers le haut, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (l'axe \(y\)).

3. Étude de la fonction

a. Domaine

Le domaine de définition est l'ensemble des réels :
\[D(f) = \mathbb{R}.\]

b. Encadrement

Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), on a :
\[f(x) = x^2 \geq 0.\]

c. Image

L'image de \(f\) est l'ensemble des réels positifs ou nuls :

\[ \operatorname{Im}(f) = [0, +\infty[.\]

d. Variations

La fonction est :

• strictement décroissante sur \(\left]-\infty, 0 ight[\)
• strictement croissante sur \(\left]0, +\infty ight[\)

Elle atteint son minimum en \(x=0\), où \(f(0)=0\).

4. Symétries

La parabole est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, c'est une symétrie centrale par rapport à l'origine pour le point \(x\) et \(-x\).

5. Résumé

La fonction carré est une fonction de base en 2nde, caractérisée par :

• Domaine : \(\mathbb{R}\)
• Image : \([0, +\infty[\)
• Elle est paire (symétrie par rapport à l'axe \(y\))
• Elle possède un minimum en 0