Étude de la fonction carrée

1. Définition de la fonction carrée

La fonction carrée, notée \(f\), associe à tout nombre réel \(x\) le carré de ce nombre :

Expression : \(f(x) = x^2\)

2. Représentation graphique

Le graphique de la fonction \(f(x) = x^2\) est une parabole qui s'ouvre vers le haut et dont le sommet est situé en \((0,0)\).

3. Étude de la fonction

a) Domaine de définition

La fonction \(f(x) = x^2\) est définie pour tous les nombres réels :

\(D = \mathbb{R}\)

b) Images

Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), on a :

\(f(x) = x^2 \geq 0\)

Donc, l'ensemble image est :

\(f(\mathbb{R}) = [0, +\infty[\)

c) Sens de variation

Sur \(-\infty, 0\), la fonction est décroissante.

Sur \(0, +\infty\), elle est croissante.

Elle possède un minimum en \(x=0\) avec une valeur \(f(0)=0\).

4. La représentation graphique

Voici une illustration de la parabole :

5. Résumé

• La fonction carré est définie pour tout réel.
• Son graphique est une parabole ouverte vers le haut.
• Son minimum est en \(x=0\) avec \(f(0)=0\).
• Son image est \([0, +\infty[\).