1. Définition

La fonction inverse d'une fonction \(f\), notée \(f^{-1}\), est la fonction qui « inverse » le processus de \(f\).
Elle répond à l'équation :

\(f(f^{-1}(x)) = x\)

2. Condition d'existence

Une fonction \(f\) admet une inverse si elle est :

• bijective (injective et surjective) sur son domaine de définition.
• Cela implique qu'elle doit être strictement monotone (strictement croissante ou décroissante).

3. Exemple : \(f(x) = 2x + 3\)

Cette fonction est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), elle admet donc une inverse.

Calcul de l'inverse :

1. Exprimer \(x\) en fonction de \(f(x)\) :

\(y = 2x + 3\)

2. Inverser l'équation :

\(x = rac{y - 3}{2}\)

3. Remplacer \(y\) par \(x\) pour obtenir l'inverse :

\[ f^{-1}(x) = rac{x - 3}{2} \]

4. Graphique

Le graphique de \(f\) et de \(f^{-1}\) sont symétriques par rapport à la droite \(y = x\).

Par exemple, pour \(f(x) = 2x + 3\), le graphique de \(f^{-1}\) est la réflexion de celui de \(f\) par rapport à la ligne \(y = x\).

5. Résumé

• Une fonction admet une inverse si elle est bijective.
• Pour trouver l'inverse, on inverse simplement l'expression de la fonction.
• Les graphiques de \(f\) et \(f^{-1}\) sont symétriques par rapport à la droite \(y = x\).