Définition

La fonction valeur absolue, notée \(|x|\), associe à tout nombre réel \(x\) sa distance à 0 sur la droite numérique. Elle est définie par :

• pour tout \(x\) réel, \( |x| = x \) si \( x \geq 0 \),
• pour tout \(x\) réel, \( |x| = -x \) si \( x < 0 \).

En résumé, :

\[ |x| = egin{cases} x, & ext{si } x \geq 0 \ -x, & ext{si } x < 0 \end{cases} \]

Représentation graphique

Le graphique de \( y = |x| \) forme une "V" dont le sommet est à l'origine (0,0). La branche à droite correspond à la droite \( y = x \), celle à gauche à \( y = -x \).

Graphiquement :

• pour \(x \geq 0\), \( y = x \),
• pour \(x < 0\), \( y = -x \).

Propriétés principales

• extbf{Positivité} : \( |x| \geq 0 \) et \( |x| = 0 \iff x=0 \).
• extbf{Similitude} : \( |ax| = |a|\,|x| \) pour tout réel \(a\).
• extbf{Inégalité triangulaire} : \(orall x, y \in \mathbb{R}, |x + y| \leq |x| + |y|\).
• extbf>Caractère »norme » : \(|x|\) mesure la distance à 0.

Exemples d'utilisation

• Calcul de distances : La distance entre \(a\) et \(b\) est donnée par \(|a - b|\).
• Résolution d'inéquations comme \(|x| < a\), qui revient à \( -a < x < a \).