Étude de la fonction valeur absolue

1. Définition de la fonction valeur absolue

La fonction valeur absolue, notée \( |x| \), est définie par :

• si \( x \geq 0 \), alors \( |x| = x \),
• si \( x < 0 \), alors \( |x| = -x \).

2. Représentation graphique

Le graphique de \( y = |x| \) est une "V" dont le sommet est en \((0,0)\).
Il se compose de deux branches :

• la droite \( y = x \) pour \( x \geq 0 \),
• la droite \( y = -x \) pour \( x \leq 0 \).

3. Propriétés principales

• Pour tout réel \( x \), on a \( |x| \geq 0 \).
• La valeur absolue est toujours positive ou nulle : \( |x| \geq 0 \).
• Elle vérifie l'identité : \( |x| = \sqrt{x^2} \).
• Elle satisfait la propriété triangulaire : pour tous \( x, y \in \mathbb{R} \),
  • \( |x + y| \leq |x| + |y| \),
  • \( |xy| = |x| imes |y| \).

4. Exemple d'étude d'une fonction composée

Considérons la fonction \( f(x) = |2x - 3| \).
Elle peut s'analyser en étudiant l'expression à l'intérieur : \( 2x - 3 \).
Le signe de cette expression change en \( x = rac{3}{2} \).
Pour \( x \leq rac{3}{2} \), on a \( 2x - 3 \leq 0 \) et \( f(x) = -(2x - 3) = -2x + 3 \).
Pour \( x \geq rac{3}{2} \), on a \( 2x - 3 \geq 0 \) et \( f(x) = 2x - 3 \).

5. Résumé

La fonction valeur absolue est une fonction simple, toujours positive ou nulle, ayant une représentation graphique en "V".
Elle est souvent utilisée pour mesurer des distances ou pour traiter des situations avec des écarts positifs et négatifs.