Étude de la fonction valeur absolue

1. Définition

La fonction valeur absolue, notée |x|, associe à tout nombre réel x sa distance à zéro sur la droite numérique. La définition est :

• Si x ≥ 0, alors |x| = x.
• Si x < 0, alors |x| = -x.

2. Représentation graphique

Le graphique de |x| est en forme de "V" :

• La branche pour x ≥ 0 est la droite y = x.
• La branche pour x < 0 est la droite y = -x.

3. Propriétés

• Pour tout x, |x| ≥ 0.
• |x| = 0 si et seulement si x = 0.
• Pour tout x et y, |x + y| ≤ |x| + |y| (Inégalité triangulaire).
• La valeur absolue est toujours positive ou nulle.

4. Quelques exercices

1. Calculer |-5|.
2. Tracer la fonction f(x) = |x| sur un graphique.
3. Déterminer |x - 3| pour x=5.
4. Résoudre l'inéquation |x| < 4.

5. Conclusion

La fonction valeur absolue est fondamentale en mathématiques, notamment pour mesurer des distances ou travailler avec des expressions contenant des modules.