Analyse : Étude de la monotonie et optimisation

1. La monotonie d'une fonction

Une fonction \(f\) est dite :

• croissante sur un intervalle si, pour tout \(x, y\) dans cet intervalle, si \(x < y\), alors \(f(x) \leq f(y)\).
• décroissante sur un intervalle si, pour tout \(x, y\) dans cet intervalle, si \(x < y\), alors \(f(x) \geq f(y)\).

2. Étude de la monotonie à l'aide de la dérivée

Pour une fonction différentiable, on utilise la dérivée \(f'\) :

• Si \(f'(x) > 0\) sur un intervalle, alors \(f\) est croissante sur cet intervalle.
• Si \(f'(x) < 0\) sur un intervalle, alors \(f\) est décroissante sur cet intervalle.

Pour analyser la monotonie, on étudie le signe de \(f'\).

3. Approche de l'étude

1. Calculer la dérivée \(f'\).
2. Rechercher les valeurs de \(x\) où \(f'(x) = 0\) ou \(f'\) n'est pas défini.
3. Étudier le signe de \(f'\) sur chaque intervalle déterminé par ces valeurs.

4. Exemples

Exemple 1 : \(f(x) = x^3 - 3x + 1\)

\(f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1)\).

Les points critiques : \(x = -1\) et \(x=1\).

Étude du signe :

• Pour \(x < -1\), \(f'(x) > 0\) donc \(f\) est croissante.
• Pour \(-1 < x < 1\), \(f'(x) < 0\), \(f\) est décroissante.
• Pour \(x > 1\), \(f'(x) > 0\), \(f\) est croissante.

Exemple 2 : optimisation

Rechercher le maximum ou le minimum local en étudiant la variation de la fonction autour des points critiques.

5. Conclusion - Résumé

• Étape clé : étudier le signe de la dérivée pour connaître la monotonie.
• Points où \(f'\) change de signe sont des candidats pour un maximum ou un minimum local.