Introduction

Les équations quadratiques sont des équations du type ax² + bx + c = 0, où a, b, c sont des nombres réels et avec a ≠ 0.

Pour les résoudre, différentes méthodes existent, mais le but est toujours de trouver toutes les valeurs de x qui satisfont l’équation.

La formule du discriminant

La solution de l’équation dépend du discriminant Δ, défini par :

\[ \Delta = b^2 - 4ac \]

Le discriminant indique le nombre et la nature des solutions :

• Si \(\Delta > 0\), il y a deux solutions réelles distinctes.
• Si \(\Delta = 0\), il y a une solution réelle unique (double).
• Si \(\Delta < 0\), il n’y a pas de solutions réelles, mais deux solutions complexes.

Les solutions en fonction de Δ

Les solutions de l’équation sont données par la formule :

\[ x = rac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]

- Si \(\Delta \ge 0\), on calcule \(\sqrt{\Delta}\) et on trouve deux solutions :

\[ x_1 = rac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \quad ext{et} \quad x_2 = rac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \]

- Si \(\Delta < 0\), il n’y a pas de solutions réelles, mais on peut écrire les solutions complexes :

\[ x = rac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a} \]

Exemples

Exemple 1 : \[ 2x^2 - 4x - 6 = 0 \]

Calculons \(\Delta\) :

\[ \Delta = (-4)^2 - 4 imes 2 imes (-6) = 16 + 48 = 64 \]

Comme \(\Delta > 0\), il y a deux solutions :

\[ x_1 = rac{-(-4) - \sqrt{64}}{2 imes 2} = rac{4 - 8}{4} = -1 \]

\[ x_2 = rac{4 + 8}{4} = 3 \]

Exemple 2 : \[ x^2 + 4x + 4 = 0 \]

Calculons \(\Delta\) :

\[ \Delta = 4^2 - 4 imes 1 imes 4 = 16 - 16 = 0 \]

Il y a une seule solution :

\[ x = rac{-4}{2} = -2 \]

Exemple 3 : \[ x^2 + x + 1 = 0 \]

Calculons \(\Delta\) :

\[ \Delta = 1^2 - 4 imes 1 imes 1 = 1 - 4 = -3 \]

Les solutions sont complexes :

\[ x = rac{-1 \pm i \sqrt{3}}{2} \]