Étude des équations quadratiques

Introduction

Les équations quadratiques sont des équations de degré 2 de la forme :

ax^2 + bx + c = 0

avec \( a, b, c \) réels et \( a eq 0 \).

Les méthodes de résolution

Calcul du discriminant

Le discriminant \( \Delta \) est défini par :

\[\Delta = b^2 - 4ac\]

Il permet de déterminer le nombre de solutions :

• Si \( \Delta > 0 \), il y a deux solutions distinctes :

\[x_1 = rac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\quad 	ext{et}\quad x_2 = rac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\]

• Si \( \Delta = 0 \), il y a une solution unique :

\[x = rac{-b}{2a}\]

• Si \( \Delta < 0 \), il n'y a pas de solutions réelles.

Résumé de la méthode

Pour résoudre une équation \(ax^2 + bx + c = 0\) :

1. Calculer le discriminant \( \Delta \).
2. Selon la valeur de \( \Delta \), déterminer le nombre et la nature des solutions.
3. Si \( \Delta \geq 0 \), calculer les solutions avec la formule :

\[x = rac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\]

Exemple

Résoudre l’équation \(2x^2 - 4x - 6 = 0\).

Solution :

1. Calcul du discriminant :

\[ \Delta = (-4)^2 - 4 	imes 2 	imes (-6) = 16 + 48 = 64 \]

2. Comme \( \Delta > 0 \), il y a deux solutions :

\[x_{1,2} = rac{4 \pm \sqrt{64}}{2 	imes 2} = rac{4 \pm 8}{4}\]

3. Calcul des solutions :

 x_1 = rac{4 - 8}{4} = -1 \quad 	ext{et} \quad x_2 = rac{4 + 8}{4} = 3 \]

Conclusion

L’étude d’une équation quadratique repose principalement sur le calcul du discriminant, qui indique immédiatement le nombre de solutions réelles et permet de déterminer comment les calculer.