Étude des variations d'une fonction

Le signe de la dérivée \(f'\) dit tout : si \(f'\) est positive, la courbe de \(f\) monte ; si \(f'\) est négative, elle descend ; là où \(f'\) s'annule en changeant de signe, \(f\) atteint un sommet ou un creux.

Objectifs

Relier le signe de la dérivée au sens de variation d'une fonction sur un intervalle.
Étudier le signe de \(f'(x)\) (expression affine, produit, trinôme, quotient).
Dresser un tableau de variations complet.
Repérer et calculer les extremums locaux (maximum, minimum).
Utiliser les variations pour résoudre un problème d'optimisation.

1. Dérivée et sens de variation

Rappel : \(f'(a)\) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(a\). Une tangente qui « monte » a un coefficient directeur positif, une tangente qui « descend » a un coefficient directeur négatif.

Là où la courbe monte, chaque tangente monte aussi : son coefficient directeur \(f'(x)\) est positif.

Là où la courbe descend, la tangente descend : \(f'(x)\) est négatif.

Au sommet et au creux, la tangente est horizontale : \(f'(x) = 0\), et la dérivée change de signe.

Manipule le graphique : la courbe bleue est \(f(x) = x^3 - 3x + c\), l'autre est sa dérivée \(f'(x) = 3x^2 - 3\). Observe que \(f\) monte exactement là où la courbe de \(f'\) est au-dessus de l'axe des abscisses.

Une fonction \(f\) est dérivable sur \([0 ; 5]\) et \(f'(x) < 0\) pour tout \(x\) de cet intervalle. Que peut-on dire ?

\(f\) est croissante sur \([0 ; 5]\)
\(f\) est strictement décroissante sur \([0 ; 5]\)
\(f\) est négative sur \([0 ; 5]\)

Une dérivée strictement négative signifie que la courbe descend : \(f\) est strictement décroissante. Attention, cela ne dit rien du signe de \(f\) elle-même.

2. Étudier le signe de la dérivée et dresser le tableau de variations

Exemple résolu 1 : une fonction du second degré

Étudier les variations de \(f(x) = x^2 - 4x + 1\) sur \(\mathbb{R}\). Cherche d'abord, puis dévoile les étapes.

Dérivée : \(f\) est un polynôme, dérivable sur \(\mathbb{R}\), et \(f'(x) = 2x - 4\).

Signe : \(2x - 4 = 0 \iff x = 2\). Comme \(a = 2 > 0\), \(f'(x) < 0\) pour \(x < 2\) et \(f'(x) > 0\) pour \(x > 2\).

Valeur clé : \(f(2) = 2^2 - 4 \times 2 + 1 = 4 - 8 + 1 = -3\).

Conclusion : \(f\) est décroissante sur \(]-\infty ; 2]\), croissante sur \([2 ; +\infty[\), et admet un minimum égal à \(-3\) en \(x = 2\).

\(x\)	\(-\infty\)		\(2\)		\(+\infty\)
signe de \(f'(x)\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)
variations de \(f\)		\(\searrow\)	\(-3\)	\(\nearrow\)

Exemple résolu 2 : une fonction du troisième degré

Étudier les variations de \(g(x) = x^3 - 3x + 1\) sur \(\mathbb{R}\).

Dérivée : \(g'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)\).

Signe : c'est un trinôme de coefficient \(3 > 0\) et de racines \(-1\) et \(1\) : \(g'(x) > 0\) sur \(]-\infty ; -1[\) et sur \(]1 ; +\infty[\), \(g'(x) < 0\) sur \(]-1 ; 1[\).

Valeurs clés : \(g(-1) = -1 + 3 + 1 = 3\) et \(g(1) = 1 - 3 + 1 = -1\).

Tableau :

\(x\)	\(-\infty\)		\(-1\)		\(1\)		\(+\infty\)
signe de \(g'(x)\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
variations de \(g\)		\(\nearrow\)	\(3\)	\(\searrow\)	\(-1\)	\(\nearrow\)

\(g\) admet un maximum local \(3\) en \(-1\) et un minimum local \(-1\) en \(1\).

Exemple résolu 3 : une fonction rationnelle

Étudier les variations de \(h(x) = \dfrac{2x+1}{x-1}\) sur \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\).

Voir la solution

Avec \(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\), \(u = 2x+1\), \(v = x - 1\) :

\[h'(x) = \frac{2(x-1) - (2x+1)\times 1}{(x-1)^2} = \frac{2x - 2 - 2x - 1}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2}.\]

Le dénominateur est un carré strictement positif pour \(x \neq 1\) et le numérateur vaut \(-3\) : donc \(h'(x) < 0\). La fonction \(h\) est strictement décroissante sur \(]-\infty ; 1[\) et strictement décroissante sur \(]1 ; +\infty[\).

On sait que \(f'(x) = (x - 2)(x + 5)\). Sur quel intervalle \(f\) est-elle décroissante ?

\(]-\infty ; -5]\)
\([2 ; +\infty[\)
\([-5 ; 2]\)

Le trinôme \((x-2)(x+5)\) a un coefficient \(1 > 0\) : il est négatif entre ses racines \(-5\) et \(2\). C'est là que \(f\) décroît.

3. Extremums locaux

Fais varier \(a\) et \(b\) : la parabole \(y = ax^2 + bx\) et sa dérivée \(y = 2ax + b\) (une droite). Le sommet de la parabole est toujours à l'abscisse où la droite coupe l'axe des abscisses.

Soit \(f(x) = -x^2 + 6x\). Quel est son extremum ?

Un maximum égal à \(9\), atteint en \(x = 3\)
Un minimum égal à \(9\), atteint en \(x = 3\)
Un maximum égal à \(3\), atteint en \(x = 9\)

\(f'(x) = -2x + 6\) s'annule en \(3\) et passe de \(+\) à \(-\) : c'est un maximum, \(f(3) = -9 + 18 = 9\).

Si \(f'(2) = 0\), peut-on toujours affirmer que \(f\) admet un extremum en \(2\) ?

Oui, toujours
Non, il faut que \(f'\) change de signe en \(2\)
Oui, si \(f(2) > 0\)

L'exemple de \(x \mapsto (x-2)^3\) montre que la dérivée peut s'annuler sans changer de signe : pas d'extremum.

4. Application : optimiser un bénéfice

Son bénéfice journalier, en milliers de F CFA, pour \(x\) centaines de beignets fabriqués (\(0 \leq x \leq 15\)), est modélisé par :

\[B(x) = -2x^2 + 40x - 50.\]

Question : combien de beignets doit-elle fabriquer pour un bénéfice maximal, et quel est ce bénéfice ?

Voir la solution

\begin{align} B'(x) &= -4x + 40,\\ B'(x) = 0 &\iff x = 10. \end{align}

Le coefficient de \(x\) est \(-4 < 0\) : \(B'(x) > 0\) sur \([0 ; 10[\) et \(B'(x) < 0\) sur \(]10 ; 15]\). Donc \(B\) est croissante sur \([0 ; 10]\) puis décroissante sur \([10 ; 15]\).

\[B(10) = -2 \times 100 + 400 - 50 = 150, \quad B(0) = -50, \quad B(15) = -450 + 600 - 50 = 100.\]

\(x\)	\(0\)		\(10\)		\(15\)
signe de \(B'(x)\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)
variations de \(B\)	\(-50\)	\(\nearrow\)	\(150\)	\(\searrow\)	\(100\)

Fatou doit fabriquer \(1\,000\) beignets (\(x = 10\) centaines) ; son bénéfice maximal est alors de \(150\) milliers de F CFA, soit \(150\,000\) F CFA.

Dans l'exemple de Fatou, quel est le bénéfice minimal sur \([0 ; 15]\) ?

\(100\) milliers de F CFA, en \(x = 15\)
\(150\) milliers de F CFA, en \(x = 10\)
\(-50\) milliers de F CFA, en \(x = 0\) (une perte)

On compare les bornes : \(B(0) = -50\) et \(B(15) = 100\). Le minimum est \(-50\) : sans rien fabriquer, Fatou perd ses frais fixes.

Erreurs fréquentes

Confondre le signe de \(f\) et le signe de \(f'\) : c'est le signe de \(f'\) qui donne les variations de \(f\).
Oublier de calculer les valeurs de \(f\) au bout des flèches du tableau.
Réunir deux intervalles séparés par une valeur interdite (« décroissante sur \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\) »).
Conclure à un extremum dès que \(f'(a) = 0\), sans vérifier le changement de signe.
Oublier les bornes de l'intervalle dans un problème d'optimisation.

Récapitulatif

flowchart LR
A[Calculer f prime] --> B[Signe de f prime]
B --> C[Fleches du tableau]
C --> D[Valeurs aux bornes et extremums]
D --> E[Conclure]

\(f' \geq 0\) sur un intervalle : \(f\) croissante ; \(f' \leq 0\) : \(f\) décroissante.
Le tableau de variations résume le signe de \(f'\) et les variations de \(f\).
Extremum local en \(a\) : \(f'(a) = 0\) et changement de signe de \(f'\).
Optimiser = étudier les variations puis comparer les valeurs (points critiques et bornes).

Cartes mémo

Dérivée positive sur \(I\)

\(f\) est croissante sur \(I\) : la courbe monte.

Dérivée négative sur \(I\)

\(f\) est décroissante sur \(I\) : la courbe descend.

Maximum local en \(a\)

\(f'(a) = 0\) et \(f'\) passe de \(+\) à \(-\).

Minimum local en \(a\)

\(f'(a) = 0\) et \(f'\) passe de \(-\) à \(+\).

Tableau de variations

Lignes \(x\), signe de \(f'(x)\), variations de \(f\) avec les valeurs au bout des flèches.

Optimisation sur \([a ; b]\)

Comparer \(f\) aux points où \(f'\) change de signe et aux bornes \(f(a)\), \(f(b)\).