Étude du signe, résolution d’équations et d’inéquations pour une fonction du second degré

1. Introduction

Une fonction polynôme du second degré s’écrit sous la forme f(x) = ax^2 + bx + c, avec a \neq 0.

2. Résolution de l’équation f(x) = 0

Pour résoudre f(x) = 0, on calcule le discriminant :

\[ \Delta = b^2 - 4ac \]

Selon la valeur de \(\Delta\) :

• Si \(\Delta > 0\), il y a deux solutions réelles :
  \[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \]
• Si \(\Delta = 0\), il y a une seule solution :
  \[ x = -\frac{b}{2a} \]
• Si \(\Delta < 0\), il n’y a pas de solution réelle.

3. Étude du signe de f(x)

Selon la parabole représentée par la fonction :

1. Si a > 0, la parabole ouvre vers le haut :
• Si \(\Delta \geq 0\), f(x) est négative entre les racines, et positive à l’extérieur :
  \[ \text{f(x) < 0} \quad \Leftrightarrow \quad x \in (x_1, x_2) \text{ si } \Delta > 0 \]
• Si \(\Delta < 0\), f(x) > 0 pour tout x.
2. Si a < 0, la parabole ouvre vers le bas :
• Si \(\Delta \geq 0\), f(x) est positive entre les racines, et négative à l’extérieur :
  \[ \text{f(x) > 0} \quad \Leftrightarrow \quad x \in (x_1, x_2) \text{ si } \Delta > 0 \]
• Si \(\Delta < 0\), f(x) < 0 pour tout x.

4. Résolution d’inequations du second degré

Pour résoudre \(f(x) > 0\) ou \(f(x) < 0\) :

1. Résoudre l’équation \(f(x) = 0\) pour trouver ses racines \(x_1, x_2\).
2. Analyser le signe de \(f(x)\) en fonction de la parabole et de la position des racines.
3. Formuler la solution sous forme d’ensembles d’intervalles :

exemple :

Si \(f(x) = x^2 - 4x + 3\), alors :

• \(\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 3 = 16 - 12 = 4 > 0\)
  Les racines : \[ x_1 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = 1,\quad x_2 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = 3 \]
• \(a=1 > 0\), la parabole ouvre vers le haut.
  \(f(x) > 0\) pour \(x < 1\) ou \(x > 3\), et \(f(x) < 0\) pour \(x \in (1, 3)\).
  Donc : \[ \text{f(x) > 0} \quad \Leftrightarrow \quad x \in (-\infty, 1) \cup (3, +\infty) \]

5. Résumé

• Calcul du discriminant \(\Delta\) pour déterminer le nombre de racines.
• Étude du signe en fonction de la position de \(\Delta\) et du coefficient \(a\).
• Expression des solutions d’inéquations sous forme d’intervalles.