Étude du signe, résolution d’équations et inéquations du second degré

Avec un seul nombre, le discriminant \(\Delta\), on sait si la parabole coupe l’axe des abscisses, où elle le coupe, et donc où le trinôme est positif ou négatif.

Objectifs

Calculer le discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\) d’un trinôme \(ax^2 + bx + c\) (avec \(a \neq 0\)).
Résoudre une équation du second degré selon le signe de \(\Delta\).
Factoriser un trinôme quand c’est possible.
Dresser le tableau de signes d’un trinôme.
Résoudre une inéquation du second degré.

1. Le discriminant : le « détecteur » de racines

On appelle trinôme du second degré toute expression \(f(x) = ax^2 + bx + c\) où \(a\), \(b\), \(c\) sont des réels et \(a \neq 0\). Sa courbe est une parabole, tournée vers le haut si \(a > 0\), vers le bas si \(a < 0\).

Une racine du trinôme est un réel \(x\) tel que \(f(x) = 0\) : c’est l’abscisse d’un point où la parabole coupe l’axe des abscisses.

Le discriminant du trinôme est le nombre :

\[\Delta = b^2 - 4ac\]

Joue avec les curseurs : modifie \(a\), \(b\) et \(c\) et regarde combien de fois la parabole coupe l’axe des abscisses.

2. Résoudre une équation du second degré

Pour résoudre \(ax^2 + bx + c = 0\) :

on identifie \(a\), \(b\) et \(c\) (après avoir tout mis dans le membre de gauche) ;
on calcule \(\Delta\) ;
on applique la formule qui correspond au signe de \(\Delta\).

Exemple résolu 1 : \(2x^2 - 5x + 2 = 0\)

Cherche d’abord, puis dévoile les étapes.

On lit \(a = 2\), \(b = -5\), \(c = 2\).

\(\Delta = (-5)^2 - 4 \times 2 \times 2 = 25 - 16 = 9\). Donc \(\Delta > 0\) et \(\sqrt{\Delta} = 3\).

\[x_1 = \frac{5 - 3}{2 \times 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \qquad x_2 = \frac{5 + 3}{4} = 2\]

Conclusion : \(S = \left\{ \dfrac{1}{2} \,;\, 2 \right\}\). Vérification : \(2 \times 2^2 - 5 \times 2 + 2 = 8 - 10 + 2 = 0\).

Exemple résolu 2 : \(x^2 - 6x + 9 = 0\)

Voir la solution

\(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 9\), donc \(\Delta = 36 - 36 = 0\). Une racine double :

\[x_0 = -\frac{-6}{2 \times 1} = 3\]

\(S = \{3\}\). On reconnaît d’ailleurs \(x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2\).

Exemple résolu 3 : le terrain de Fatou

Voir la solution

\(x^2 + 5x - 84 = 0\) : \(a = 1\), \(b = 5\), \(c = -84\).

\[\Delta = 25 + 336 = 361 = 19^2\] \[x_1 = \frac{-5 - 19}{2} = -12 \qquad x_2 = \frac{-5 + 19}{2} = 7\]

Une largeur ne peut pas être négative : on garde \(x = 7\). Le terrain mesure 7 m sur 12 m (et \(7 \times 12 = 84\)).

Factorisation

Exemple : \(2x^2 - 5x + 2 = 2\left(x - \dfrac{1}{2}\right)(x - 2) = (2x - 1)(x - 2)\).

Combien de solutions a l’équation \(x^2 - 4x + 5 = 0\) ?

Deux solutions
Une solution double
Aucune solution réelle

\(\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 5 = 16 - 20 = -4\). Comme \(\Delta < 0\), il n’y a aucune solution réelle.

Quelles sont les solutions de \(x^2 - x - 6 = 0\) ?

\(-2\) et \(3\)
\(2\) et \(-3\)
\(1\) et \(6\)

\(\Delta = 1 + 24 = 25\), \(\sqrt{\Delta} = 5\), donc \(x_1 = \dfrac{1 - 5}{2} = -2\) et \(x_2 = \dfrac{1 + 5}{2} = 3\).

3. Le signe d’un trinôme

Résumé selon le signe de \(\Delta\) (avec \(x_1 < x_2\)) :

Cas	Signe du trinôme
\(\Delta > 0\)	signe de \(a\) à l’extérieur de \([x_1 \,;\, x_2]\), signe de \(-a\) entre \(x_1\) et \(x_2\), nul en \(x_1\) et \(x_2\)
\(\Delta = 0\)	signe de \(a\) partout, nul en \(x_0\)
\(\Delta < 0\)	signe de \(a\) partout, jamais nul

Exemple résolu 4 : signe de \(2x^2 - 5x + 2\)

On a déjà trouvé \(\Delta = 9\) et les racines \(\dfrac{1}{2}\) et \(2\).

\(a = 2 > 0\) : le trinôme est positif à l’extérieur des racines et négatif entre elles.

\(x\)	\(-\infty\)		\(\dfrac{1}{2}\)		\(2\)		\(+\infty\)
\(2x^2 - 5x + 2\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)

Exemple résolu 5 : signe de \(x^2 + x + 1\)

Voir la solution

\(\Delta = 1 - 4 = -3 < 0\) : pas de racine. Comme \(a = 1 > 0\), on a \(x^2 + x + 1 > 0\) pour tout réel \(x\).

Le trinôme \(-3x^2 + 2x - 1\) a pour discriminant \(\Delta = -8\). Quel est son signe ?

Toujours positif
Toujours négatif
Positif entre ses racines

\(\Delta < 0\) : pas de racine, le trinôme garde le signe de \(a = -3\), donc il est strictement négatif pour tout \(x\).

4. Résoudre une inéquation du second degré

Méthode :

flowchart LR
A[Tout passer a gauche] --> B[Calculer Delta]
B --> C[Trouver les racines]
C --> D[Tableau de signes]
D --> E[Lire les solutions]

Exemple résolu 6 : le bénéfice d’Awa

Cherche d’abord, puis dévoile les étapes.

\(a = -1\), \(b = 40\), \(c = -300\). \(\Delta = 40^2 - 4 \times (-1) \times (-300) = 1600 - 1200 = 400\), donc \(\sqrt{\Delta} = 20\).

\[x_1 = \frac{-40 - 20}{2 \times (-1)} = \frac{-60}{-2} = 30 \qquad x_2 = \frac{-40 + 20}{-2} = \frac{-20}{-2} = 10\]

\(a = -1 < 0\) : le trinôme est négatif à l’extérieur des racines et positif entre \(10\) et \(30\).

\(x\)	\(-\infty\)		\(10\)		\(30\)		\(+\infty\)
\(B(x)\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)

\(S = [10 \,;\, 30]\) : Awa gagne de l’argent (ou ne perd rien) en préparant entre 10 et 30 dizaines de bouteilles, soit entre 100 et 300 bouteilles.

Vérifie sur le graphique : la courbe de \(B\) est au-dessus de l’axe entre 10 et 30.

Exemple résolu 7 : \(x^2 - 9 < 0\)

Voir la solution

\(a = 1\), \(b = 0\), \(c = -9\) : \(\Delta = 0 + 36 = 36\), racines \(\dfrac{-6}{2} = -3\) et \(\dfrac{6}{2} = 3\).

\(a > 0\) donc le trinôme est négatif strictement entre les racines : \(S = \left] -3 \,;\, 3 \right[\). Les bornes sont exclues car l’inégalité est stricte.

Exemple résolu 8 : \(x^2 + 2 \geq 2x\)

Voir la solution

On passe tout à gauche : \(x^2 - 2x + 2 \geq 0\). \(\Delta = 4 - 8 = -4 < 0\) et \(a = 1 > 0\), donc le trinôme est toujours strictement positif : \(S = \mathbb{R}\).

Quel est l’ensemble des solutions de \(x^2 - 5x + 6 > 0\) ?

\(]2 \,;\, 3[\)
\([2 \,;\, 3]\)
\(]-\infty \,;\, 2[ \,\cup\, ]3 \,;\, +\infty[\)

\(\Delta = 25 - 24 = 1\), racines \(2\) et \(3\). Comme \(a = 1 > 0\), le trinôme est positif à l’extérieur des racines, bornes exclues car l’inégalité est stricte.

Quel est l’ensemble des solutions de \(-x^2 + 4x - 3 \geq 0\) ?

\([1 \,;\, 3]\)
\(]-\infty \,;\, 1] \,\cup\, [3 \,;\, +\infty[\)
\(\mathbb{R}\)

\(\Delta = 16 - 12 = 4\), racines \(\dfrac{-4 - 2}{-2} = 3\) et \(\dfrac{-4 + 2}{-2} = 1\). Comme \(a = -1 < 0\), le trinôme est positif entre les racines, bornes comprises.

Récapitulatif

\(\Delta = b^2 - 4ac\) indique le nombre de racines : 2 si \(\Delta > 0\), 1 si \(\Delta = 0\), 0 si \(\Delta < 0\).
Racines : \(\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\), ou \(-\dfrac{b}{2a}\) si \(\Delta = 0\).
Factorisation : \(a(x - x_1)(x - x_2)\) ou \(a(x - x_0)^2\).
Signe : celui de \(a\), sauf entre les racines.
Inéquation : tout à gauche, \(\Delta\), racines, tableau de signes, lecture des solutions avec les bons crochets.

Discriminant

\(\Delta = b^2 - 4ac\)

Racines si \(\Delta > 0\)

\(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\)

Racine double si \(\Delta = 0\)

\(x_0 = -\dfrac{b}{2a}\)

Factorisation

\(a(x - x_1)(x - x_2)\) si \(\Delta > 0\)

Signe du trinôme

Signe de \(a\), sauf entre les racines

Si \(\Delta < 0\)

Pas de racine, toujours du signe de \(a\)