Objectifs

• Reconnaître une fonction affine, la fonction carré (et \(x \mapsto ax^2\)), la fonction cube et la fonction racine carrée.
• Donner leur ensemble de définition, leur sens de variation et la forme de leur courbe.
• Dresser un tableau de valeurs et tracer la courbe dans un repère.
• Lire graphiquement des images, des antécédents, et résoudre des équations ou inéquations simples.
• Comparer \(x\), \(x^2\), \(x^3\) et \(\sqrt{x}\) selon que \(x\) est entre 0 et 1 ou plus grand que 1.

1. Rappels : fonction, image, antécédent, courbe

Une fonction \(f\) associe à chaque nombre \(x\) de son ensemble de définition \(D_f\) un unique nombre noté \(f(x)\).

• \(f(x)\) est l'image de \(x\).
• Si \(f(a) = b\), on dit que \(a\) est un antécédent de \(b\). Un nombre peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.
• La courbe représentative \(\mathcal{C}_f\) est l'ensemble des points \(M(x\,;\,f(x))\) dans un repère.

Une fonction est croissante sur un intervalle si, quand \(x\) augmente, \(f(x)\) augmente (la courbe « monte » de gauche à droite) ; elle est décroissante si \(f(x)\) diminue (la courbe « descend »). On résume cela dans un tableau de variations.

2. Les fonctions affines

Définition

Une fonction affine s'écrit \(f(x) = ax + b\), où \(a\) et \(b\) sont deux nombres réels fixés. Elle est définie sur \(\mathbb{R}\).

• \(a\) est le coefficient directeur (la pente) ; \(b\) est l'ordonnée à l'origine : \(f(0) = b\).
• Si \(b = 0\), \(f(x) = ax\) est une fonction linéaire (situation de proportionnalité).
• Si \(a = 0\), \(f(x) = b\) est une fonction constante.

Courbe et variations

La courbe d'une fonction affine est une droite. Deux points suffisent pour la tracer.

• Si \(a > 0\), \(f\) est croissante sur \(\mathbb{R}\) ; si \(a < 0\), elle est décroissante ; si \(a = 0\), elle est constante.
• Pour deux nombres distincts \(x_1\) et \(x_2\) : \(\displaystyle a = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}\).

Bouge les curseurs : \(a\) incline la droite, \(b\) la fait glisser vers le haut ou vers le bas.

Exemple résolu

Tracer la droite de \(f(x) = 2x - 3\) et donner son sens de variation.

3. La fonction carré et les fonctions \(x \mapsto ax^2\)

Définition et tableau de valeurs

La fonction carré est définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^2\).

Propriétés

• Pour tout réel \(x\), \(x^2 \geq 0\) : la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses.
• \(f\) est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\) et croissante sur \([0\,;\,+\infty[\). Son minimum est \(0\), atteint en \(x = 0\).
• \((-x)^2 = x^2\) : la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (fonction paire).
• Sa courbe s'appelle une parabole de sommet \(O(0\,;\,0)\).

Les fonctions \(x \mapsto ax^2\) (avec \(a \neq 0\))

Leur courbe est aussi une parabole de sommet \(O\), symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

• Si \(a > 0\), la parabole est tournée vers le haut (comme un bol) : minimum 0 en \(x = 0\).
• Si \(a < 0\), elle est tournée vers le bas (comme un bol renversé) : maximum 0 en \(x = 0\).
• Plus \(|a|\) est grand, plus la parabole est « fermée » (étroite).

Essaie : mets \(a\) négatif, puis grand, puis proche de 0.

Exemple résolu

Résoudre graphiquement puis par le calcul : (1) \(x^2 = 9\) ; (2) \(x^2 < 4\).

4. La fonction cube

La fonction cube est définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^3\).

• \(f\) est croissante sur \(\mathbb{R}\) : elle conserve l'ordre.
• \(x^3\) a le même signe que \(x\).
• \((-x)^3 = -x^3\) : la courbe est symétrique par rapport à l'origine O (fonction impaire).
• Tout réel \(b\) a exactement un antécédent : par exemple \(x^3 = 8 \iff x = 2\) et \(x^3 = -27 \iff x = -3\).

5. La fonction racine carrée

La fonction racine carrée est définie sur \([0\,;\,+\infty[\) par \(f(x) = \sqrt{x}\), le nombre positif dont le carré est \(x\).

• \(\sqrt{x}\) n'existe pas pour \(x < 0\) : la courbe ne commence qu'en \(O\).
• \(f\) est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\), mais elle monte de plus en plus lentement.
• Sa courbe est une demi-parabole couchée : c'est la moitié de la parabole \(y = x^2\) symétrisée par rapport à la droite \(y = x\).

6. Comparer \(x\), \(x^2\), \(x^3\) et \(\sqrt{x}\)

Les trois courbes passent par \((0\,;\,0)\) et \((1\,;\,1)\). Entre ces deux points, l'ordre s'inverse :

• Si \(0 < x < 1\) : \(x^3 < x^2 < x < \sqrt{x}\).
• Si \(x > 1\) : \(\sqrt{x} < x < x^2 < x^3\).

Exemple résolu

Ranger sans calculatrice \(0{,}4\) ; \(0{,}4^2\) ; \(0{,}4^3\) et \(\sqrt{0{,}4}\). Cherche d'abord !

Erreurs fréquentes

• Confondre \(a\) et \(b\) dans \(f(x) = ax + b\) quand l'écriture est dans le désordre (\(f(x) = 7 - 2x\) : \(a = -2\)).
• Oublier la solution négative de \(x^2 = k\) (avec \(k > 0\)).
• Calculer \(\sqrt{x}\) pour \(x\) négatif : impossible dans \(\mathbb{R}\).
• Dire que la fonction carré est croissante partout : elle décroît sur \(]-\infty\,;\,0]\).
• Tracer une parabole « en V » avec une pointe : en \(O\), la courbe est arrondie.

Récapitulatif

Cartes mémo