Étudier une fonction pas à pas avec la dérivée : la méthode en six étapes

Mathématiques · Terminale · Thème : fonction numérique

La dérivée mesure la pente de la courbe en chaque point : son signe dit si la fonction monte ou descend, et ses changements de signe donnent les maximums et minimums.

Objectifs

Revenir à la définition du nombre dérivé comme limite d'un taux d'accroissement.
Écrire l'équation de la tangente en un point.
Relier le signe de \(f'\) au sens de variation de \(f\) et dresser un tableau de variations.
Repérer les extremums locaux et résoudre un problème d'optimisation.
Suivre une méthode complète, toujours la même, sur une fonction « fil rouge ».

Étape 1 : du taux d'accroissement au nombre dérivé

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\), \(a\in I\) et \(h\neq 0\) tel que \(a+h\in I\). Le taux d'accroissement de \(f\) entre \(a\) et \(a+h\) est

\[ \tau(h)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}. \]

C'est la pente de la sécante qui passe par les points d'abscisses \(a\) et \(a+h\). Si \(\tau(h)\) admet une limite finie \(\ell\) quand \(h\) tend vers \(0\), on dit que \(f\) est dérivable en \(a\) et on note

\[ f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}. \]

Exemple résolu : la fonction carré en \(a\)

Cherche d'abord : calcule \(\tau(h)\) pour \(f(x)=x^2\), puis sa limite.

On développe : \(f(a+h)-f(a)=(a+h)^2-a^2=a^2+2ah+h^2-a^2=2ah+h^2\).

On divise par \(h\neq 0\) : \(\tau(h)=\dfrac{2ah+h^2}{h}=2a+h\).

On fait tendre \(h\) vers \(0\) : \(\lim_{h\to0}(2a+h)=2a\). Donc \(f'(a)=2a\) pour tout réel \(a\).

Pour une fonction dérivable en a, que représente géométriquement le nombre dérivé f'(a) ?

L'ordonnée du point de la courbe d'abscisse a
La pente de la sécante entre les points d'abscisses a et a + 1
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a

Le nombre dérivé est la limite des pentes des sécantes quand h tend vers 0 : c'est la pente de la tangente. L'ordonnée du point est f(a), pas f'(a).

Étape 2 : l'équation de la tangente

La fonction fil rouge

Dans toute la suite, on étudie la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[ f(x)=x^3-3x+1. \]

Elle est dérivable sur \(\mathbb{R}\) (fonction polynôme) et \(f'(x)=3x^2-3\).

Exemple résolu : tangente au point d'abscisse 2

Cherche d'abord, puis dévoile la solution.

Voir la solution

\[ \begin{align} f(2)&=2^3-3\times 2+1=8-6+1=3\\ f'(2)&=3\times 2^2-3=12-3=9\\ y&=9(x-2)+3=9x-15 \end{align} \]

La tangente au point \((2\,;\,3)\) a pour équation \(y=9x-15\).

Fais varier \(a\) avec le curseur : la droite tracée est la tangente au point d'abscisse \(a\). Observe qu'elle devient horizontale pour \(a=-1\) et \(a=1\).

Étape 3 : signe de la dérivée et sens de variation

Exemple résolu : tableau de variations de la fonction fil rouge

On factorise la dérivée : \(f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)\).

Elle s'annule en \(x=-1\) et \(x=1\). C'est un trinôme de coefficient \(3>0\) : il est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles.

On calcule les images : \(f(-1)=-1+3+1=3\) et \(f(1)=1-3+1=-1\).

On en déduit : \(f\) est croissante sur \(]-\infty\,;-1]\), décroissante sur \([-1\,;1]\), croissante sur \([1\,;+\infty[\).

\(x\)	\(-\infty\)		\(-1\)		\(1\)		\(+\infty\)
signe de \(f'(x)\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
variations de \(f\)		croissante ↗	\(3\)	décroissante ↘	\(-1\)	croissante ↗

flowchart LR
A[Calculer f prime] --> B[Factoriser]
B --> C[Signe de f prime]
C --> D[Tableau de variations]
D --> E[Extremums]
E --> F[Conclure]

Sur l'intervalle de -1 à 1, la dérivée de la fonction fil rouge est négative. Que peut-on en conclure ?

f est strictement décroissante sur cet intervalle
f est négative en tout point de cet intervalle
f est constante sur cet intervalle

Le signe de \(f'\) renseigne sur le sens de variation de \(f\), pas sur le signe de \(f\). D'ailleurs \(f(0)=1\) est positif.

Étape 4 : les extremums locaux

Pour la fonction fil rouge : \(f'\) passe de \(+\) à \(-\) en \(-1\), donc \(f(-1)=3\) est un maximum local ; \(f'\) passe de \(-\) à \(+\) en \(1\), donc \(f(1)=-1\) est un minimum local. Ce ne sont pas des extremums sur \(\mathbb{R}\) tout entier, car \(f\) prend des valeurs aussi grandes ou aussi petites qu'on veut.

Pour \(g(x)=x^3\), on a \(g'(0)=0\). Que se passe-t-il en \(0\) ?

g admet un minimum local en 0
g n'admet pas d'extremum en 0, car g' ne change pas de signe
g admet un maximum local en 0

\(g'(x)=3x^2\) est positive ou nulle partout : \(g\) est croissante sur \(\mathbb{R}\), la tangente en 0 est horizontale mais la courbe continue de monter.

Étape 5 : un problème d'optimisation

On note \(x\) la longueur (en m) des deux côtés perpendiculaires au mur. Le côté parallèle au mur mesure alors \(40-2x\), avec \(0 \[ A(x)=x(40-2x)=40x-2x^2. \]

Cherche d'abord la valeur de \(x\) qui rend l'aire maximale.

Voir la solution

Dérivée : \(A'(x)=40-4x\).

Signe : \(A'(x)>0\iff x<10\) et \(A'(x)<0\iff x>10\). Donc \(A\) est croissante sur \(]0\,;10]\) et décroissante sur \([10\,;20[\).

\(A'\) change de signe de \(+\) à \(-\) en \(10\) : l'aire est maximale pour \(x=10\). Alors \(A(10)=10\times(40-20)=200\).

Conclusion : deux côtés de 10 m et un côté de 20 m le long du mur, pour une aire maximale de \(200\ \text{m}^2\).

Avec 60 m de grillage et le même dispositif contre le mur, quelle valeur de x rend l'aire maximale ?

\(x=10\)
\(x=20\)
\(x=15\)

\(A(x)=x(60-2x)\), donc \(A'(x)=60-4x\), qui s'annule en changeant de signe en \(x=15\). L'aire vaut alors \(15\times 30=450\ \text{m}^2\).

Étape 6 : la méthode complète à retenir

Préciser l'ensemble de définition et de dérivabilité.
Calculer \(f'(x)\) avec les formules (somme, produit, quotient, composée).
Factoriser \(f'(x)\) pour étudier facilement son signe.
Dresser le tableau de signes de \(f'\), puis le tableau de variations de \(f\) avec les images aux bornes.
Repérer les extremums locaux : là où \(f'\) s'annule en changeant de signe.
Répondre à la question posée (tangente, optimisation, nombre de solutions…).

Erreurs fréquentes

Oublier le changement de signe pour conclure à un extremum (contre-exemple \(x^3\) en \(0\)).
Écrire la tangente sous la forme \(y=f(a)(x-a)+f'(a)\) : on inverse les rôles. La pente est \(f'(a)\).
Conclure sur la croissance de \(f\) sans tenir compte de l'intervalle : le théorème s'applique sur un intervalle.
Dans un problème concret, oublier les contraintes sur la variable (ici \(0

Récapitulatif

\(f'(a)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\) : pente de la tangente au point d'abscisse \(a\).
Tangente : \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\).
\(f'>0\) sur un intervalle : \(f\) strictement croissante ; \(f'<0\) : strictement décroissante.
Extremum local en \(a\) : \(f'\) s'annule et change de signe en \(a\).
Optimiser : exprimer la grandeur en fonction d'une variable, dériver, étudier le signe, conclure dans le contexte.

Nombre dérivé

Limite du taux d'accroissement quand h tend vers 0 ; pente de la tangente.

Équation de la tangente

\(y=f'(a)(x-a)+f(a)\)

Signe de f' et variations

f' positive : f croissante ; f' négative : f décroissante, sur un intervalle.

Extremum local

f' s'annule en changeant de signe : de + à - maximum, de - à + minimum.

Optimisation

Modéliser, dériver, étudier le signe, conclure en tenant compte des contraintes.