Loi binomiale : expression, seuils et comparaisons

Quand on répète \(n\) fois la même épreuve à deux issues, de façon indépendante, le nombre de succès \(X\) suit une loi binomiale : \(P(X=k)\) se calcule avec une formule, et on s'en sert pour trouver des seuils et comparer des probabilités.

Objectifs

Reconnaître un schéma de Bernoulli et une loi binomiale \(\mathcal{B}(n\,;p)\).
Utiliser l'expression \(P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\).
Calculer espérance, variance et écart-type.
Déterminer un seuil : plus petit \(n\) ou plus petit \(k\) vérifiant une condition.
Comparer des probabilités et trouver la valeur la plus probable.

1. Du schéma de Bernoulli à la loi binomiale

Une épreuve de Bernoulli a deux issues : succès (probabilité \(p\)) et échec (probabilité \(1-p\)).
Un schéma de Bernoulli est la répétition de \(n\) épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
La variable \(X\) qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\), notée \(\mathcal{B}(n\,;p)\).

flowchart LR
A[n épreuves identiques et indépendantes] --> B[X compte les succès]
B --> C[X suit B de paramètres n et p]
C --> D[P de X égal k par la formule]
C --> E[Espérance np]

Rappels utiles : \(\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1\), \(\binom{n}{1} = n\), \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\) et \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\).

Exemple résolu 1 : les graines de Moussa

\(X\) suit \(\mathcal{B}(10\,;0{,}8)\). Calcule \(P(X = 8)\) et \(P(X \geq 9)\).

Justification : 10 épreuves identiques et indépendantes, succès « la graine germe » de probabilité \(p = 0{,}8\), \(X\) compte les succès.

\(\binom{10}{8} = \binom{10}{2} = \dfrac{10 \times 9}{2} = 45\).

\[ P(X = 8) = 45 \times 0{,}8^{8} \times 0{,}2^{2} \approx 45 \times 0{,}16777 \times 0{,}04 \approx 0{,}302. \]

\[ P(X \geq 9) = P(X=9) + P(X=10) = 10 \times 0{,}8^{9} \times 0{,}2 + 0{,}8^{10} \approx 0{,}2684 + 0{,}1074 \approx 0{,}376. \]

Les probabilités de 0 à 7 germinations : presque nulles pour k ≤ 4, puis elles augmentent.

Le bâton le plus haut est en k = 8 : c'est la valeur la plus probable, égale à l'espérance 10 × 0,8.

Les bâtons de 9 et 10 forment l'événement « au moins 9 graines germent », de probabilité environ 0,376.

On lance 5 fois une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 2 fois « pile » ?

\(\frac{10}{32}\)
\(\frac{2}{5}\)
\(\frac{1}{32}\)

\(X\) suit \(\mathcal{B}(5\,;0{,}5)\) : \(P(X = 2) = \binom{5}{2} \times 0{,}5^{5} = 10 \times \frac{1}{32} = \frac{10}{32} \approx 0{,}31\).

2. Espérance, variance, écart-type

Pour les graines : \(E(X) = 10 \times 0{,}8 = 8\), \(V(X) = 10 \times 0{,}8 \times 0{,}2 = 1{,}6\) et \(\sigma(X) = \sqrt{1{,}6} \approx 1{,}26\).

\(X\) suit \(\mathcal{B}(50\,;0{,}1)\). Que vaut \(V(X)\) ?

5
0,09
4,5

\(V(X) = np(1-p) = 50 \times 0{,}1 \times 0{,}9 = 4{,}5\). Le nombre 5 est l'espérance.

3. Seuils : trouver le plus petit \(n\) ou le plus petit \(k\)

Type 1 : plus petit \(n\) tel que \(P(X \geq 1) \geq s\)

\(X\) suit \(\mathcal{B}(n\,;0{,}05)\). On veut \(P(X \geq 1) \geq 0{,}9\).

Événement contraire : \(P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}95^{n}\).

\(1 - 0{,}95^{n} \geq 0{,}9 \iff 0{,}95^{n} \leq 0{,}1\).

La fonction \(\ln\) est croissante : \(n \ln(0{,}95) \leq \ln(0{,}1)\).

Comme \(\ln(0{,}95) < 0\), on change le sens de l'inégalité en divisant : \[ n \geq \frac{\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}95)} \approx 44{,}9. \]

Le plus petit entier est \(n = 45\). Vérification : \(0{,}95^{44} \approx 0{,}105 > 0{,}1\) et \(0{,}95^{45} \approx 0{,}099 \leq 0{,}1\).

Explore : la courbe donne \(1-(1-p)^{n}\) en fonction de \(n\) (en abscisse). Règle \(p\) et le seuil \(s\) (droite horizontale) : le seuil cherché est le premier \(n\) où la courbe passe au-dessus de la droite.

Type 2 : plus petit \(k\) tel que \(P(X \leq k) \geq s\)

Sur un trajet Accra-Kumasi, on suppose que chacun des 20 cars d'une compagnie arrive en retard avec la probabilité 0,3, indépendamment. \(X\) suit \(\mathcal{B}(20\,;0{,}3)\). Trouve le plus petit entier \(k\) tel que \(P(X \leq k) \geq 0{,}95\). Cherche d'abord (avec la calculatrice : fonction de répartition binomiale).

Voir la solution

On calcule les probabilités cumulées :

\[ P(X \leq 8) \approx 0{,}887 \qquad P(X \leq 9) \approx 0{,}952. \]

\(P(X \leq 8) < 0{,}95\) et \(P(X \leq 9) \geq 0{,}95\) : le seuil est \(k = 9\). Interprétation : dans au moins 95 % des cas, il y a au plus 9 cars en retard. Observer 12 retards serait donc inhabituel et pourrait alerter la compagnie.

\(X\) suit \(\mathcal{B}(n\,;0{,}2)\). Quelle inéquation traduit \(P(X \geq 1) \geq 0{,}99\) ?

\(0{,}2^{n} \leq 0{,}01\)
\(0{,}8^{n} \leq 0{,}01\)
\(0{,}8^{n} \geq 0{,}99\)

\(P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}8^{n}\). La condition \(1 - 0{,}8^{n} \geq 0{,}99\) équivaut à \(0{,}8^{n} \leq 0{,}01\).

4. Comparer des probabilités et trouver la valeur la plus probable

Exemple résolu 2 : 8 ou 9 graines ?

Avec \(n = 10\), \(p = 0{,}8\) et \(k = 8\) : \[ \frac{P(X=9)}{P(X=8)} = \frac{10-8}{9} \times \frac{0{,}8}{0{,}2} = \frac{2}{9} \times 4 = \frac{8}{9}. \]

\(\frac{8}{9} < 1\), donc \(P(X = 9) < P(X = 8)\) : Kofi a choisi le résultat le plus probable.

Avec \(k = 7\) : \(\frac{P(X=8)}{P(X=7)} = \frac{3}{8} \times 4 = \frac{3}{2} > 1\). Les probabilités montent jusqu'à \(k = 8\) puis descendent : 8 est la valeur la plus probable (le mode).

\(X\) suit \(\mathcal{B}(6\,;0{,}5)\). Comparer \(P(X = 2)\) et \(P(X = 4)\).

\(P(X = 2) > P(X = 4)\)
\(P(X = 2) < P(X = 4)\)
\(P(X = 2) = P(X = 4)\)

Pour \(p = 0{,}5\) la loi est symétrique : \(P(X = 2) = \binom{6}{2} \times 0{,}5^{6} = \frac{15}{64}\) et \(P(X = 4) = \binom{6}{4} \times 0{,}5^{6} = \frac{15}{64}\).

Erreurs fréquentes

Récapitulatif

\(X \sim \mathcal{B}(n\,;p)\) : \(P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\).
\(E(X) = np\), \(V(X) = np(1-p)\), \(\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}\).
« Au moins un » : \(P(X \geq 1) = 1 - (1-p)^n\) ; seuil en \(n\) avec \(\ln\), sans oublier d'inverser l'inégalité.
Seuil en \(k\) : on cherche le premier \(k\) où la probabilité cumulée \(P(X \leq k)\) dépasse le seuil.
Comparaison : quotient \(\frac{P(X=k+1)}{P(X=k)}\) comparé à 1.

Schéma de Bernoulli

\(n\) épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

\(P(X = k)\)

\(\binom{n}{k}\, p^k (1-p)^{n-k}\)

Espérance et variance

\(E(X) = np\) et \(V(X) = np(1-p)\).

Au moins un succès

\(P(X \geq 1) = 1 - (1-p)^n\).

Seuil en n

Passer au \(\ln\) et inverser l'inégalité car \(\ln(1-p) < 0\).

Valeur la plus probable

Comparer \(\frac{P(X = k+1)}{P(X = k)}\) à 1.