Facteurs d'efficacité : comment la résistance, la tension et l'intensité agissent sur la puissance et l'énergie électriques

La puissance d'un appareil dépend de la tension, de l'intensité et de sa résistance, et l'énergie consommée grandit avec la puissance et la durée : bien choisir ces facteurs permet de faire le même travail avec moins de pertes.

Objectifs

Utiliser les relations \(P = U \times I\), \(P = R \times I^2\) et \(P = \dfrac{U^2}{R}\).
Calculer l'énergie électrique \(E = P \times t\) en joules et en kilowattheures.
Expliquer l'influence de la résistance, de la tension, de l'intensité et de la durée sur la puissance et l'énergie.
Calculer un rendement et comprendre pourquoi on transporte l'électricité sous haute tension.

1. La puissance électrique : tension et intensité

La puissance électrique \(P\) reçue par un appareil mesure la quantité d'énergie qu'il reçoit chaque seconde. En courant continu (et pour les appareils chauffants en courant alternatif), elle vaut :

\[ P = U \times I \]

avec \(P\) en watts (\(\mathrm{W}\)), \(U\) la tension en volts (\(\mathrm{V}\)) et \(I\) l'intensité en ampères (\(\mathrm{A}\)).

Exemple résolu 1 : le fer à repasser de Kofi

À Abidjan, Kofi utilise un fer à repasser qui porte l'indication « 220 V – 1 000 W ». Quelle intensité le traverse en fonctionnement normal ?

On part de \(P = U \times I\), donc \(I = \dfrac{P}{U}\).

\[ I = \frac{1000}{220} \approx 4{,}5\ \mathrm{A} \]

Le fer est traversé par un courant d'environ \(4{,}5\ \mathrm{A}\).

Un ventilateur alimenté sous \(220\ \mathrm{V}\) est traversé par un courant de \(0{,}25\ \mathrm{A}\). Quelle est sa puissance ?

\(880\ \mathrm{W}\)
\(0{,}0011\ \mathrm{W}\)
\(55\ \mathrm{W}\)

\(P = U \times I = 220 \times 0{,}25 = 55\ \mathrm{W}\). On multiplie la tension par l'intensité, on ne divise pas.

2. Le rôle de la résistance : l'effet Joule

Pour un conducteur ohmique (résistance \(R\) en ohms, \(\Omega\)), la loi d'Ohm donne \(U = R \times I\). En la combinant avec \(P = U \times I\), on obtient deux nouvelles formes de la puissance :

\begin{align} P &= R \times I^2 \\ P &= \frac{U^2}{R} \end{align}

Manipule : puissance et intensité (à résistance fixée)

Fais varier la résistance \(R\) avec le curseur. La courbe montre \(P = R \times I^2\) en fonction de l'intensité \(I\) (axe horizontal, en ampères ; axe vertical, en watts). Observe que la courbe est une parabole : doubler \(I\) multiplie \(P\) par 4.

Manipule : puissance et résistance (à tension fixée)

Ici, la tension \(U\) est réglable (par exemple 220 V pour une prise). La courbe montre \(P = \dfrac{U^2}{R}\) en fonction de \(R\) (axe horizontal, en ohms). Une petite résistance « laisse passer » beaucoup de courant : la puissance est grande.

Exemple résolu 2 : la résistance du fer à repasser

Le fer « 220 V – 1 000 W » de Kofi contient une résistance chauffante. Quelle est sa valeur ?

Voir la solution

On utilise \(P = \dfrac{U^2}{R}\), donc \(R = \dfrac{U^2}{P}\) :

\[ R = \frac{220^2}{1000} = \frac{48\,400}{1000} = 48{,}4\ \Omega \]

Vérification avec \(P = R \times I^2\) : \(48{,}4 \times 4{,}545^2 \approx 48{,}4 \times 20{,}66 \approx 1000\ \mathrm{W}\). Cohérent.

Deux résistances chauffantes de \(50\ \Omega\) et \(100\ \Omega\) sont branchées chacune sur une prise de \(220\ \mathrm{V}\). Laquelle chauffe le plus ?

Celle de \(100\ \Omega\)
Celle de \(50\ \Omega\)
Elles chauffent autant

À tension fixée, \(P = U^2/R\) : \(968\ \mathrm{W}\) pour \(50\ \Omega\) contre \(484\ \mathrm{W}\) pour \(100\ \Omega\). La plus petite résistance chauffe le plus.

3. L'énergie électrique : puissance et durée

L'énergie électrique \(E\) reçue par un appareil de puissance \(P\) pendant une durée \(t\) vaut :

\[ E = P \times t \]

avec \(P\) en watts et \(t\) en secondes, \(E\) est en joules (\(\mathrm{J}\)) ;
avec \(P\) en kilowatts et \(t\) en heures, \(E\) est en kilowattheures (\(\mathrm{kWh}\)).

\[ 1\ \mathrm{kWh} = 1000\ \mathrm{W} \times 3600\ \mathrm{s} = 3{,}6 \times 10^{6}\ \mathrm{J} \]

Exemple résolu 3 : le coût du repassage

Kofi repasse pendant 30 minutes avec son fer de \(1\,000\ \mathrm{W}\). On suppose, pour l'exercice, que le kilowattheure coûte 100 F CFA. Calcule l'énergie consommée et le coût.

Conversion : \(P = 1\ \mathrm{kW}\) et \(t = 30\ \mathrm{min} = 0{,}5\ \mathrm{h}\).

\[ E = P \times t = 1 \times 0{,}5 = 0{,}5\ \mathrm{kWh} \]

En joules : \(E = 1000 \times 1800 = 1{,}8 \times 10^{6}\ \mathrm{J}\).

Coût : \(0{,}5 \times 100 = 50\) F CFA.

Une lampe de \(10\ \mathrm{W}\) reste allumée 10 heures. Quelle énergie consomme-t-elle ?

\(0{,}1\ \mathrm{kWh}\)
\(100\ \mathrm{kWh}\)
\(1\ \mathrm{kWh}\)

\(E = 0{,}010\ \mathrm{kW} \times 10\ \mathrm{h} = 0{,}1\ \mathrm{kWh}\). Il faut convertir les watts en kilowatts avant de multiplier par les heures.

4. Le rendement : énergie utile et pertes

Un appareil convertit l'énergie électrique reçue en énergie utile (mouvement, lumière, chaleur voulue) et en pertes (surtout de la chaleur par effet Joule). Le rendement \(\eta\) (lettre grecque « êta ») compare l'utile au reçu :

\[ \eta = \frac{P_{\text{utile}}}{P_{\text{reçue}}} = \frac{E_{\text{utile}}}{E_{\text{reçue}}} \quad\text{avec}\quad 0 \le \eta \le 1 \]

La conservation de l'énergie impose : \(E_{\text{reçue}} = E_{\text{utile}} + E_{\text{pertes}}\).

flowchart LR
A[Energie electrique recue] --> B[Moteur de la pompe]
B --> C[Energie utile mecanique]
B --> D[Pertes thermiques effet Joule]

Exemple résolu 4 : rendement de la pompe

Le moteur reçoit une puissance électrique de \(500\ \mathrm{W}\) et fournit une puissance mécanique utile de \(400\ \mathrm{W}\). Calcule son rendement et la puissance perdue. Cherche d'abord !

Voir la solution

\[ \eta = \frac{400}{500} = 0{,}80 \text{, soit } 80\ \% \] \[ P_{\text{pertes}} = 500 - 400 = 100\ \mathrm{W} \]

Ces \(100\ \mathrm{W}\) partent en chaleur dans les bobinages du moteur.

Un appareil reçoit \(2\ \mathrm{kWh}\) et fournit \(1{,}5\ \mathrm{kWh}\) d'énergie utile. Son rendement vaut :

\(1{,}33\)
\(0{,}75\)
\(0{,}5\)

\(\eta = \dfrac{1{,}5}{2} = 0{,}75\), soit 75 %. Le reste, \(0{,}5\ \mathrm{kWh}\), est perdu.

5. Application : transporter l'électricité sous haute tension

Les câbles d'une ligne ont une résistance \(R\). Les pertes par effet Joule y valent \(P_{\text{pertes}} = R \times I^2\). Pour transporter une même puissance \(P = U \times I\), augmenter la tension \(U\) permet de diminuer l'intensité \(I\), donc de réduire fortement les pertes.

Sous 220 V, transporter 10 kW demande un courant d'environ 45 A : la ligne de 2 Ω perd plus de 4 kW en chaleur, soit environ 41 % de la puissance.

Sous 2 200 V (tension multipliée par 10), l'intensité est divisée par 10 et les pertes par 100 : il ne reste qu'environ 41 W de pertes.

Exemple résolu 5 : le calcul détaillé

On veut transporter \(P = 10\ \mathrm{kW}\) dans une ligne de résistance \(R = 2\ \Omega\). Compare les pertes sous \(220\ \mathrm{V}\) et sous \(2\,200\ \mathrm{V}\).

Sous \(220\ \mathrm{V}\) : \(I = \dfrac{10\,000}{220} \approx 45{,}5\ \mathrm{A}\).

\(P_{\text{pertes}} = 2 \times 45{,}45^2 \approx 4\,130\ \mathrm{W}\).

Sous \(2\,200\ \mathrm{V}\) : \(I = \dfrac{10\,000}{2\,200} \approx 4{,}55\ \mathrm{A}\).

\(P_{\text{pertes}} = 2 \times 4{,}545^2 \approx 41{,}3\ \mathrm{W}\) : cent fois moins.

Pour une même puissance transportée, on multiplie la tension de la ligne par 3. Les pertes par effet Joule sont :

multipliées par 3
divisées par 3
divisées par 9

L'intensité est divisée par 3 ; comme les pertes valent \(R I^2\), elles sont divisées par \(3^2 = 9\).

Schéma à légender : le circuit de mesure

Pour mesurer la puissance d'un résistor, on branche un ampèremètre en série et un voltmètre en dérivation. Place les noms sur le schéma.

Erreurs fréquentes

Oublier de convertir : minutes en heures pour les kWh, ou en secondes pour les joules.
Confondre puissance (en W, un débit d'énergie) et énergie (en J ou kWh, une quantité).
Écrire \(P = R \times I\) au lieu de \(P = R \times I^2\) : l'intensité est au carré.
Conclure trop vite sur le rôle de \(R\) sans regarder si c'est \(U\) ou \(I\) qui reste constant.
Trouver un rendement supérieur à 1 en inversant le quotient.

Récapitulatif

Puissance : \(P = U \times I = R \times I^2 = \dfrac{U^2}{R}\).
Énergie : \(E = P \times t\), en J (W et s) ou en kWh (kW et h), avec \(1\ \mathrm{kWh} = 3{,}6 \times 10^{6}\ \mathrm{J}\).
Pertes par effet Joule : \(R \times I^2\) ; on les réduit en diminuant l'intensité, d'où la haute tension pour le transport.
Rendement : \(\eta = \dfrac{P_{\text{utile}}}{P_{\text{reçue}}}\), toujours inférieur ou égal à 1.

Puissance électrique

\(P = U \times I\), en watts : l'énergie reçue chaque seconde.

Effet Joule

Échauffement d'un conducteur : \(P = R \times I^2\).

Puissance à tension fixée

\(P = \dfrac{U^2}{R}\) : plus \(R\) est petite, plus \(P\) est grande.

Énergie électrique

\(E = P \times t\) ; \(1\ \mathrm{kWh} = 3{,}6 \times 10^{6}\ \mathrm{J}\).

Rendement

\(\eta = \dfrac{P_{\text{utile}}}{P_{\text{reçue}}}\), compris entre 0 et 1.

Haute tension

Même puissance, \(U\) plus grande, \(I\) plus petite : pertes \(R I^2\) réduites.