Objectifs du cours

• Mettre en facteur un facteur commun (nombre, puissance de \(x\) ou expression entière).
• Reconnaître et utiliser les identités remarquables pour factoriser.
• Factoriser par regroupement de termes.
• Utiliser une racine \(a\) d'un polynôme pour le factoriser par \(x-a\) (division euclidienne, méthode de Horner, identification).

Notions clés

1. Développer et factoriser : deux sens d'une même égalité

Factoriser une expression, c'est l'écrire sous forme d'un produit de facteurs. Développer, c'est l'opération inverse : transformer un produit en somme.

Pour vérifier une factorisation, on redéveloppe le résultat : on doit retrouver l'expression de départ.

2. Le facteur commun

On cherche le plus grand facteur présent dans tous les termes : le PGCD des coefficients et la plus petite puissance de \(x\) qui apparaît.

Le facteur commun peut aussi être une expression entière entre parenthèses :

3. Les identités remarquables

Pour tous réels \(a\) et \(b\) :

En 1ère, on utilise aussi les identités du troisième degré :

4. La factorisation par regroupement

Quand il n'y a pas de facteur commun à tous les termes, on les regroupe deux par deux pour faire apparaître une même parenthèse :

5. Racine et division par \(x-a\)

On dit que \(a\) est une racine du polynôme \(P\) lorsque \(P(a)=0\).

Plus généralement, la division euclidienne de \(P\) par \(x-a\) donne \(P(x) = (x-a)\,Q(x) + R\), où le reste \(R\) est un nombre réel et vaut \(R = P(a)\).

Pour trouver \(Q\), trois méthodes équivalentes :

• Division posée, comme une division de nombres, en commençant par le terme de plus haut degré.
• Identification : on écrit \(Q(x) = \alpha x^2 + \beta x + \gamma\), on développe \((x-a)Q(x)\) et on égale les coefficients.
• Méthode de Horner : un tableau rapide. On descend le premier coefficient, puis on répète « multiplier par \(a\), ajouter au coefficient suivant ».

6. Voir les facteurs sur la courbe

Chaque facteur \(x-a\) correspond à un point où la courbe coupe l'axe des abscisses, en \(x=a\). Déplace les curseurs : la courbe de \(y=(x-a)(x-b)\) coupe toujours l'axe en \(a\) et en \(b\).

7. Quelle méthode choisir ?

flowchart TD
  A[Polynome a factoriser] --> B{Facteur commun}
  B -- oui --> C[Mettre en facteur]
  B -- non --> D{Identite remarquable}
  D -- oui --> E[Appliquer l identite]
  D -- non --> F{Regroupement possible}
  F -- oui --> G[Regrouper puis factoriser]
  F -- non --> H[Chercher une racine a]
  H --> I[Diviser par x moins a]

Après chaque étape, on regarde si les facteurs obtenus peuvent encore se factoriser.

Exemples résolus

Exemple 1 : facteur commun puis trinôme

Factoriser \(A(x) = 6x^3 - 9x^2 + 3x\).

Exemple 2 : une parenthèse en facteur commun

Factoriser \(B(x) = (x+2)(3x-1) - (x+2)(x+5)\).

Exemple 3 : identités remarquables

Factoriser \(C(x) = 4x^2 - 25\) et \(D(x) = (x+1)^2 - 9\).

Exemple 4 : regroupement

Factoriser \(E(x) = x^3 + 2x^2 - 4x - 8\).

Exemple 5 : racine évidente et méthode de Horner

Factoriser \(P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6\).

Exemple 6 : à toi de chercher

Factoriser \(R(x) = 2x^3 + x^2 - 5x + 2\) sachant que la somme de ses coefficients est nulle.

Erreurs fréquentes

Récapitulatif

• Factoriser = écrire sous forme de produit ; on vérifie en redéveloppant.
• Ordre conseillé : facteur commun, identités remarquables, regroupement, puis racine évidente et division par \(x-a\).
• Si \(P(a) = 0\), alors \(P(x) = (x-a)\,Q(x)\) avec \(\deg Q = \deg P - 1\) ; Horner donne \(Q\) rapidement.
• On continue tant qu'un facteur peut encore se factoriser.