Objectifs du cours

• Suivre une méthode en cinq étapes pour factoriser un polynôme complètement.
• Poser la division euclidienne d'un polynôme par un binôme \(x-a\) et interpréter le reste.
• Utiliser les identités des cubes \(a^3-b^3\) et \(a^3+b^3\).
• Factoriser un polynôme bicarré grâce à un changement d'inconnue.
• Savoir quand s'arrêter : reconnaître un trinôme qui ne se factorise pas dans \(\mathbb{R}\).

Notions clés

1. Que veut dire « factoriser complètement » ?

Dans \(\mathbb{R}\), un polynôme est complètement factorisé quand il est écrit comme un produit d'un nombre et de facteurs qui sont :

• soit de degré 1, comme \(x-3\) ou \(2x+1\) ;
• soit de degré 2 sans racine réelle (discriminant strictement négatif), comme \(x^2+1\).

Par exemple \(x^3-4x=x(x^2-4)\) est une factorisation incomplète : le facteur \(x^2-4\) se décompose encore. La factorisation complète est

2. La méthode en cinq étapes

flowchart TD
A[Polynome a factoriser] --> B[1 Facteur commun]
B --> C[2 Identite remarquable]
C --> D[3 Regroupement si 4 termes]
D --> E[4 Racine evidente puis division]
E --> F[5 Trinome avec discriminant]
F --> G{Un facteur se decompose encore}
G -- oui --> B
G -- non --> H[Factorisation complete]

1. Facteur commun : un nombre, une puissance de \(x\) ou une parenthèse présents dans tous les termes.
2. Identité remarquable : \(a^2-b^2\), \(a^2\pm2ab+b^2\), et les cubes \(a^3\pm b^3\) (partie 4).
3. Regroupement : pour quatre termes, on les groupe deux par deux pour faire apparaître une parenthèse commune.
4. Racine évidente puis division : si \(P(a)=0\), on divise \(P(x)\) par \(x-a\) (partie 3).
5. Trinôme \(ax^2+bx+c\) : si \(\Delta\geq0\), on écrit \(a(x-x_1)(x-x_2)\) ; si \(\Delta<0\), on s'arrête.

3. La division euclidienne par \(x-a\)

Pour tout polynôme \(P\) et tout réel \(a\), il existe un unique polynôme \(Q\) et un unique réel \(R\) tels que

En effet, en remplaçant \(x\) par \(a\), on obtient \(P(a)=0\times Q(a)+R=R\). Conséquence importante : \(P(x)\) est divisible par \(x-a\) si et seulement si \(P(a)=0\).

On pose la division comme pour les nombres : à chaque étape, on divise le terme de plus haut degré restant par \(x\), on multiplie par \(x-a\) et on soustrait.

Exemple : diviser \(P(x)=2x^2+3x-4\) par \(x-2\).

4. Les identités des cubes

Pour tous réels \(a\) et \(b\) :

On le vérifie en développant : \((a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3=a^3-b^3\).

Exemple : \(x^3-8=x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4)\). Le facteur \(x^2+2x+4\) a pour discriminant \(4-16=-12<0\) : la factorisation est complète.

5. Les polynômes bicarrés

Un polynôme bicarré s'écrit \(ax^4+bx^2+c\). On pose \(X=x^2\) : on obtient le trinôme \(aX^2+bX+c\), que l'on factorise, puis on remplace \(X\) par \(x^2\) et on continue.

Exemple : \(x^4-5x^2+4\). Avec \(X=x^2\) : \(X^2-5X+4=(X-1)(X-4)\) (racines 1 et 4). Donc

Exemples résolus

Pour chaque exemple, cherche d'abord seul en suivant les cinq étapes, puis dévoile la correction.

Exemple 1 : facteur commun, puis identité

Exemple 2 : quatre termes et regroupement

Exemple 3 : racine évidente et division posée

Exemple 4 : un bicarré qui s'arrête en route

Exemple 5 : une somme de cubes

Erreurs fréquentes

• Oublier le coefficient dominant : \(2x^2-10x+12=2(x-2)(x-3)\), et non \((x-2)(x-3)\).
• Se tromper de signe dans la soustraction de la division posée : on soustrait tout le produit, par exemple \((7x-4)-(7x-14)=10\), et non \(-18\).
• Confondre le reste et la racine : si \(P(a)\neq0\), \(x-a\) ne divise pas \(P(x)\) ; on cherche une autre racine.
• Vouloir factoriser \(x^2+1\) dans \(\mathbb{R}\) : son discriminant est négatif, il reste tel quel.

Récapitulatif

• Ordre des outils : facteur commun, identités, regroupement, racine et division, discriminant ; on recommence sur chaque facteur.
• Division euclidienne : \(P(x)=(x-a)Q(x)+P(a)\) ; \(x-a\) divise \(P(x)\) si et seulement si \(P(a)=0\).
• Cubes : \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\) et \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\).
• Bicarré : poser \(X=x^2\), factoriser, revenir à \(x\).
• On s'arrête sur un trinôme dont le discriminant est négatif.