Objectifs du cours

• Résoudre une équation en se ramenant à une équation produit nul.
• Résoudre une inéquation grâce à une forme factorisée et un tableau de signes.
• Factoriser un trinôme du second degré à l'aide de ses racines.
• Factoriser un polynôme de degré 3 par identification des coefficients, après avoir trouvé une racine.
• Factoriser des cas particuliers : \(a^3-b^3\) et les polynômes bicarrés.
• Simplifier une fraction rationnelle en précisant les valeurs interdites.

Notions clés

1. L'équation produit nul

Méthode : on passe tous les termes dans le membre de gauche (on obtient « \(\ldots=0\) »), on factorise, puis on annule chaque facteur.

2. Factoriser un trinôme grâce à ses racines

Pour \(ax^2+bx+c\) avec \(a\neq 0\) et \(\Delta=b^2-4ac\) :

• si \(\Delta>0\), les racines sont \(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\) et \(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\), et \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\) ;
• si \(\Delta=0\), la racine double est \(x_0=-\frac{b}{2a}\), et \(ax^2+bx+c=a(x-x_0)^2\) ;
• si \(\Delta\lt 0\), le trinôme ne se factorise pas en produit de facteurs du premier degré.

3. L'identification des coefficients

Si \(P\) est de degré 3 et \(P(a)=0\), on écrit \(P(x)=(x-a)(\alpha x^2+\beta x+\gamma)\), on développe, puis on égale les coefficients des termes de même degré : deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients de même degré sont égaux.

4. Deux cas particuliers utiles

Différence de deux cubes. Pour tous réels \(a\) et \(b\) : \[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).\] Par exemple \(x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)\). Le second facteur a pour discriminant \(4-16=-12\lt 0\) : la factorisation est complète.

Polynôme bicarré. Un polynôme \(ax^4+bx^2+c\) se traite avec le changement de variable \(X=x^2\) : on factorise en \(X\), puis on revient à \(x\).

Fais varier \(k\) : la courbe de \(x^4-5x^2+4+k\) coupe l'axe des abscisses en quatre points pour \(k=0\) (en \(-2\), \(-1\), \(1\) et \(2\)), puis de moins en moins quand \(k\) augmente.

5. Signe d'un produit et inéquations

Sous forme développée, le signe de \(B(x)\) ne se lit pas. Sous forme factorisée, on étudie le signe de chaque facteur, puis on applique la règle des signes d'un produit dans un tableau de signes.

flowchart LR
A[Tout passer a gauche] --> B[Factoriser]
B --> C[Signe de chaque facteur]
C --> D[Tableau de signes]
D --> E[Lire les solutions]

6. Simplifier une fraction rationnelle

Pour simplifier \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) : on cherche d'abord les valeurs interdites (\(Q(x)=0\)), on factorise numérateur et dénominateur, puis on simplifie par les facteurs communs.

Exemples résolus

Exemple 1 : une équation à deux carrés

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \((2x-1)^2=(x+3)^2\).

Exemple 2 : factoriser avec le discriminant

Factoriser \(3x^2-5x-2\).

Exemple 3 : identification après une racine

Factoriser complètement \(P(x)=2x^3-3x^2-11x+6\).

Exemple 4 : le bénéfice d'Aïcha

Résoudre \(-x^2+12x-20\geq 0\) pour \(x\geq 0\).

Exemple 5 : une fraction à simplifier

Simplifier \(F(x)=\dfrac{x^2-9}{x^2+x-6}\).

Erreurs fréquentes

• Diviser les deux membres d'une équation par une expression qui peut être nulle (on perd des solutions).
• Oublier le coefficient \(a\) dans \(a(x-x_1)(x-x_2)\).
• Résoudre \(A\times B=k\) avec \(k\neq 0\) comme si c'était \(A\times B=0\) : la propriété du produit nul ne marche qu'avec \(0\).
• Oublier les valeurs interdites d'une fraction rationnelle après simplification.
• Arrêter la factorisation d'un bicarré à \((x^2-4)(x^2-9)\) alors que chaque facteur se factorise encore.

Récapitulatif

• Équation : tout à gauche, factoriser, puis \(A\times B=0\iff A=0\) ou \(B=0\).
• Trinôme avec \(\Delta\geq 0\) : \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\) ; avec \(\Delta\lt 0\), pas de factorisation.
• Degré 3 : une racine \(a\), puis identification de \(P(x)=(x-a)(\alpha x^2+\beta x+\gamma)\).
• \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\) ; bicarré : poser \(X=x^2\).
• Inéquation : forme factorisée, puis tableau de signes.
• Fraction : valeurs interdites d'abord, puis simplification par des facteurs communs.