Factorisation et produit nul : transformer une somme en produit pour résoudre

Factoriser, c'est ranger une expression en paquets multipliés entre eux ; et quand un produit vaut zéro, l'un des paquets vaut forcément zéro : c'est ce qui permet de résoudre des équations qu'on ne savait pas résoudre.

Objectifs

Distinguer développer et factoriser, et savoir quand on a besoin de chaque opération.
Factoriser avec un facteur commun, y compris quand ce facteur est une parenthèse.
Factoriser avec les identités remarquables, en particulier \(a^2 - b^2\).
Appliquer la règle du produit nul pour résoudre des équations comme \(x^2 = 5x\) ou \((x + 2)^2 = 16\).
Utiliser la factorisation dans un problème concret.

1. Développer ou factoriser ?

Développer : transformer un produit en somme. \(3(x + 5) = 3x + 15\).
Factoriser : transformer une somme en produit. \(3x + 15 = 3(x + 5)\).
Un facteur est chacun des termes d'un produit : dans \(3(x + 5)\), les facteurs sont \(3\) et \((x + 5)\).

flowchart LR
  A[Produit 3 fois x plus 5] -- developper --> B[Somme 3x plus 15]
  B -- factoriser --> A

2. Factoriser avec un facteur commun

\[ k \times a + k \times b = k(a + b) \qquad k \times a - k \times b = k(a - b) \]

Exemples résolus

\(6x + 9\) : 3 divise 6 et 9, donc \(6x + 9 = 3 \times 2x + 3 \times 3 = 3(2x + 3)\).

\(x^2 - 5x\) : \(x\) est dans les deux termes, donc \(x^2 - 5x = x \times x - 5 \times x = x(x - 5)\).

\((x + 1)(2x - 3) + (x + 1)(x + 4)\) : le facteur commun est la parenthèse \((x + 1)\). On obtient \((x + 1)\big[(2x - 3) + (x + 4)\big] = (x + 1)(3x + 1)\).

Contrôle : on redéveloppe \((x + 1)(3x + 1) = 3x^2 + 4x + 1\), et \((x+1)(2x-3) + (x+1)(x+4) = (2x^2 - x - 3) + (x^2 + 5x + 4) = 3x^2 + 4x + 1\). C'est bien égal.

À toi

Factoriser \(A = (2x + 1)^2 - (2x + 1)(x - 3)\).

Voir la solution

\((2x + 1)^2 = (2x + 1)(2x + 1)\) : le facteur commun est \((2x + 1)\).

\[ A = (2x + 1)\big[(2x + 1) - (x - 3)\big] = (2x + 1)(2x + 1 - x + 3) = (2x + 1)(x + 4). \]

Attention au signe moins devant \((x - 3)\) : il devient \(-x + 3\).

Quelle est la factorisation de \(4x^2 + 8x\) ?

\(4(x^2 + 8x)\)
\(4x(x + 2)\)
\(x(4x + 2)\)

\(4x\) est dans les deux termes : \(4x \times x + 4x \times 2 = 4x(x + 2)\). On sort le plus grand facteur commun possible.

3. Factoriser avec les identités remarquables

\[ \begin{aligned} a^2 + 2ab + b^2 &= (a + b)^2\\ a^2 - 2ab + b^2 &= (a - b)^2\\ a^2 - b^2 &= (a - b)(a + b) \end{aligned} \]

La troisième se voit avec des aires : on enlève un petit carré de côté \(b\) d'un grand carré de côté \(a\), puis on réarrange le morceau restant.

On découpe la partie restante en deux rectangles : un rectangle bleu de côtés a et a − b, un rectangle rouge de côtés a − b et b.

On tourne le rectangle rouge et on le colle au bleu : on obtient un rectangle de côtés a + b et a − b, de même aire a² − b².

Exemples résolus

\(x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x - 3)(x + 3)\).

\(4x^2 + 12x + 9\) : \(4x^2 = (2x)^2\), \(9 = 3^2\) et \(2 \times 2x \times 3 = 12x\). Donc \(4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2\).

\(x^2 - 10x + 25 = x^2 - 2 \times x \times 5 + 5^2 = (x - 5)^2\).

\((x + 2)^2 - 16 = (x + 2)^2 - 4^2 = (x + 2 - 4)(x + 2 + 4) = (x - 2)(x + 6)\).

Quelle est la factorisation de \(25x^2 - 1\) ?

\((25x - 1)(25x + 1)\)
\((5x - 1)^2\)
\((5x - 1)(5x + 1)\)

\(25x^2 = (5x)^2\) et \(1 = 1^2\) : c'est \(a^2 - b^2\) avec \(a = 5x\) et \(b = 1\).

4. La règle du produit nul

Méthode pour résoudre une équation

Tout ramener dans un membre pour avoir « \(\ldots = 0\) ».
Factoriser ce membre.
Écrire que chaque facteur peut être nul et résoudre chaque petite équation du premier degré.
Conclure par l'ensemble des solutions et vérifier.

Exemple résolu 1 : déjà factorisé

\((x - 3)(2x + 5) = 0\) : un produit nul.

Donc \(x - 3 = 0\) ou \(2x + 5 = 0\), c'est-à-dire \(x = 3\) ou \(x = -\frac{5}{2}\).

Les solutions sont \(3\) et \(-\frac{5}{2}\). On écrit \(S = \left\{-\frac{5}{2}\,;\,3\right\}\).

Exemple résolu 2 : le piège de la division

Résoudre \(x^2 = 5x\).

On ramène tout à gauche : \(x^2 - 5x = 0\).

On factorise : \(x(x - 5) = 0\).

Donc \(x = 0\) ou \(x = 5\). \(S = \{0\,;\,5\}\).

Si l'on avait « simplifié par \(x\) », on aurait trouvé seulement \(x = 5\) et perdu la solution \(0\).

Exemple résolu 3 : avec une identité

Résoudre \((x + 2)^2 = 16\). Cherche d'abord.

Voir la solution

\[ \begin{aligned} (x + 2)^2 - 16 &= 0\\ (x + 2 - 4)(x + 2 + 4) &= 0\\ (x - 2)(x + 6) &= 0 \end{aligned} \]

Donc \(x = 2\) ou \(x = -6\). Vérification : \((2 + 2)^2 = 16\) et \((-6 + 2)^2 = (-4)^2 = 16\). \(S = \{-6\,;\,2\}\).

Exemple résolu 4 : un facteur commun caché

Résoudre \((2x + 1)(x - 3) = (2x + 1)(x + 4)\).

Voir la solution

On ramène tout à gauche et on factorise par \((2x + 1)\) :

\[ (2x + 1)\big[(x - 3) - (x + 4)\big] = 0 \iff (2x + 1) \times (-7) = 0. \]

Le facteur \(-7\) n'est jamais nul, donc \(2x + 1 = 0\), soit \(x = -\frac{1}{2}\). \(S = \left\{-\frac{1}{2}\right\}\). Simplifier par \((2x + 1)\) aurait donné \(-3 = 4\) et fait croire à tort qu'il n'y a pas de solution.

Quelles sont les solutions de \(9x^2 - 4 = 0\) ?

\(-\frac{2}{3}\) et \(\frac{2}{3}\)
\(\frac{2}{3}\) seulement
\(-\frac{4}{9}\) et \(\frac{4}{9}\)

\(9x^2 - 4 = (3x - 2)(3x + 2)\). Le produit est nul si \(x = \frac{2}{3}\) ou \(x = -\frac{2}{3}\).

Peut-on utiliser la règle du produit nul pour \((x - 1)(x - 2) = 6\) en écrivant \(x - 1 = 6\) ou \(x - 2 = 6\) ?

Oui, c'est la même règle
Non, la règle ne marche que si le produit vaut 0
Oui, mais seulement pour \(x - 1 = 6\)

Un produit égal à 6 peut venir de \(2 \times 3\), \(1 \times 6\)… On développe d'abord : \(x^2 - 3x - 4 = 0\), soit \((x - 4)(x + 1) = 0\), d'où \(x = 4\) ou \(x = -1\).

5. Application : le jardin de l'école

Soit \(x\) la largeur en mètres. La longueur est \(x + 2\), donc \(x(x + 2) = 48\), soit \(x^2 + 2x - 48 = 0\).

On fait apparaître un carré : \(x^2 + 2x = (x + 1)^2 - 1\). L'équation devient \((x + 1)^2 - 1 - 48 = 0\), soit \((x + 1)^2 - 49 = 0\).

Différence de deux carrés : \((x + 1 - 7)(x + 1 + 7) = 0\), soit \((x - 6)(x + 8) = 0\).

Donc \(x = 6\) ou \(x = -8\). Une largeur est positive : on garde \(x = 6\).

Vérification : \(6 \times 8 = 48\). Le potager mesure 6 m de large et 8 m de long.

6. Erreurs fréquentes

Récapitulatif

Factoriser, c'est écrire une somme sous forme de produit ; on contrôle en redéveloppant.
Outils : le facteur commun \(ka + kb = k(a + b)\) et les identités remarquables, surtout \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).
Produit nul : \(A \times B = 0 \iff A = 0\) ou \(B = 0\).
Méthode : tout ramener à « \(= 0\) », factoriser, annuler chaque facteur, conclure.
Ne jamais diviser par une expression qui contient l'inconnue.

Factoriser

Transformer une somme en produit, par exemple \(3x + 15 = 3(x + 5)\).

Facteur commun

\(ka + kb = k(a + b)\) ; le facteur peut être un nombre, \(x\) ou une parenthèse.

Différence de deux carrés

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).

Carrés parfaits

\(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\) et \(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\).

Règle du produit nul

Un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.

Piège de la division

Ne pas simplifier par \(x\) : dans \(x^2 = 5x\), on factorise \(x(x - 5) = 0\) et on garde \(x = 0\).