Factorisation et produit nul - Cours synthétique de 2nde
Factorisation et produit nul
Savoir factoriser des polynômes et utiliser le produit nul pour déterminer les zéros d'une expression.
Objectifs
- Connaître les méthodes de factorisation simples et par regroupement.
- Comprendre et appliquer le théorème du produit nul: si AB = 0, alors A = 0 ou B = 0.
- Résoudre des équations du premier et du second degré en factorisant puis en utilisant les zéros trouvés.
Notions clés
Facteur commun et factorisation standard :
On peut écrire une expression du type \(a x + b = 0\) sous forme de produit en factorisant le terme commun lorsque c’est possible, puis on résout les équations obtenues.
Formules utiles :
\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x-2)(x-3) = 0 \quad \Rightarrow \quad x \in \{2,3\} \]
Exemples résolus
Exemple 1 : factoring simple
Facteur le trinôme \(x^2 - 5x + 6\).
Donc : \(x^2 - 5x + 6 = 0\) a pour solutions \(x = 2\) ou \(x = 3\).
Voir la solution
Solution complète : On écrit \(x^2 - 5x + 6 = 0\). On recherche deux nombres dont le produit est \(6\) et la somme \(-5\). Les nombres \(-2\) et \(-3\) fonctionnent, on réécrit et on factorise : \(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\). Les zéros sont \(x=2\) et \(x=3\).
Quelle est la factorisation correcte de \(x^2 - 5x + 6\) ?
Exemple 2 : factorisation d'un trinôme avec coefficient au x^2
Factoriser \(2x^2 - 7x + 3\).
On cherche deux nombres qui satisfont : produit \(2 \times 3 = 6\) et somme \(-7\). On peut écrire \(-7x = -x - 6x\) et regrouper :
\[ 2x^2 - 7x + 3 = 2x^2 - x - 6x + 3 = x(2x - 1) -3(2x - 1) = (2x - 1)(x - 3) \]
Vérification : \((2x - 1)(x - 3) = 2x^2 - 6x - x + 3 = 2x^2 - 7x + 3\).
Voir la solution
On recherche les facteurs qui donnent le produit ac = 6 et la somme b = -7. On obtient les mêmes étapes par regroupement, aboutissant à \((2x-1)(x-3)\).
Quelle est la factorisation correcte de \(2x^2 - 7x + 3\) ?
Schéma explicatif
Erreurs fréquentes
- Oublier le facteur commun ou tenter de tout développer puis factoriser, ce qui est inefficace.
- Confondre signés lors du regroupement (ne pas inverser les signes dans les étapes).
- Supposer que toutes les expressions se factorisent facilement; dans certains cas, il faut des méthodes comme le regroupement ou la recherche de paires.
Récapitulatif
- Factoriser consiste à écrire un polynôme sous forme produit de facteurs simples.
- Le produit nul: si \(AB = 0\), alors \(A = 0\) ou \(B = 0\).
- Pour résoudre une équation, on factorise et on applique les zéros trouvés.
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