Factorisation et produit nul

Apprendre à factoriser et à utiliser le produit nul pour résoudre des équations simples et des trinômes du second degré.

Notions clés

Définitions essentielles à l\'aide des formules, avec un rappel sur le produit nul: lorsqu\'un produit vaut zéro, au moins l’un des facteurs vaut zéro.

Pour un trinôme du second degré, on cherche une factorisation sous la forme \(P(x) = a\,x^2 + b\,x + c = (x - r_1)(x - r_2)\) lorsque les racines sont \(r_1\) et \(r_2\).

Rappel du produit nul: si \(P(x) = 0\) et \(P(x)\) se décompose en produit de facteurs, alors \(P(x) = \prod_i F_i(x)\) et \(\exists i : F_i(x) = 0\).

Exemple de décomposition par regroupement: si \(P(x) = ax^2 + bx + c\) avec \(a\neq 0\), on cherche deux nombres \(m\) et \(n\) tels que \(m\cdot n = a c\) et \(m+n = b\). Puis on réécrit et on factorise par regroupement.

Étape 1: identifier le type d’expression (trinôme du second degré).

Étape 2: trouver \(m\) et \(n\) tels que \(m\cdot n = a c\) et \(m+n = b\).

Étape 3: écrire \(a x^2 + b x + c = a x^2 + m x + n x + c\).

Étape 4: grouper: \(= a x (x + \tfrac{m}{a}) + n (x + \tfrac{m}{a})\) et factoriser ensuite.

Voir la solution

Exemple guidé: factoriser \(x^2 - 5x + 6\) en trouvant \(m=-2\) et \(n=-3\). On obtient \(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\).

Dans l’équation \(x^2 - 4x + 4 = 0\), quelle est la factorisation correcte ?

\((x-4)(x-1)\)
\((x-2)^2\)
\((x+2)(x-2)\)

La bonne réponse est 2: \(x^2 - 4x + 4 = (x-2)(x-2) = (x-2)^2\).

Exemples résolus

Objectif: factoriser un trinôme et vérifier le produit nul.

Énoncé: Factoriser \(x^2 - 5x + 6\).

1) Chercher deux nombres qui multiplient à \(ac = 1\cdot 6 = 6\) et qui s’additionnent à \(b = -5\). Choix: \(-2\) et \(-3\).

2) Réécrire: \(x^2 - 5x + 6 = x^2 - 2x - 3x + 6\).

3) Grouper: \(= (x^2 - 2x) - (3x - 6) = x(x-2) -3(x-2)\).

4) Factoriser le facteur commun: \(=(x-2)(x-3)\).

5) Déployer: \( (x-2)(x-3) = x^2 - 5x + 6\).

Voir la solution

Solution complète: \(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\) avec racines \(x=2\) et \(x=3\). \ Appliquer le produit nul: si \((x-2)(x-3)=0\), alors \(x=2\) ou \(x=3\).

Vérification: développer \((x-2)(x-3) = x^2 - 5x + 6\) et égaler à 0 donne les racines.

Erreurs fréquentes

Oublier de tester toutes les combinaisons lors de la factorisation d\'un trinôme.
Penser que tous les polynômes se factorisent avec des entiers; certains ne se factorisent pas sur Z.
Ne pas vérifier en développant que la factorisation est correcte.

Récapitulatif

Règle du produit nul: si un produit de facteurs vaut zéro, alors au moins l’un des facteurs vaut zéro. Pour les polynômes factorables, on écrit \(P(x) = \prod_i (x - r_i)\) et les racines sont \(x = r_i\). Pour les trinômes du second degré \(ax^2 + bx + c\) avec \(a \neq 0\), on cherche deux nombres qui multiplient à \(ac\) et qui s’additionnent à \(b\), puis on factorise.