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Factorisation : Identités remarquables

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Introduction

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Les identités remarquables sont des égalités importantes en algèbre qui permettent de simplifier la factorisation de certains polynômes. Elles sont très utiles pour développer ou factoriser rapidement des expressions.

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Les trois principales identités remarquables

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1. Carré d'une somme :\n

   Pour tous \y et z réels :

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   \[ (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \]

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2. Carré d'une différence :\n

   Pour tous \x et z réels :

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   \[ (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \]

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3. Produit de la somme par la différence :\n

   Pour tous \x et z réels :

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   \[ (x + y)(x - y) = x^2 - y^2 \]

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Utilisation pour la factorisation

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Ces identités permettent de reconnaître rapidement des expressions qui correspondent à ces formes :

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• \n Expression : \( x^2 + 2xy + y^2 \) \n
  Factorisation : \( (x + y)^2 \)\n
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• \n Expression : \( x^2 - 2xy + y^2 \) \n
  Factorisation : \( (x - y)^2 \)\n
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• \n Expression : \( x^2 - y^2 \) \n
  Factorisation : \( (x + y)(x - y) \)\n
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Exemples

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Exemple 1 : Factoriser \( x^2 + 6x + 9 \)

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On remarque que : \( 9 = 3^2 \) et \( 6x = 2 \times x \times 3 \). Donc, cela correspond à \( (x + 3)^2 \).

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Donc : \[ x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 \]

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Exemple 2 : Factoriser \( 4x^2 - 25 \)

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Reconnaître la différence de deux carrés : \[ 4x^2 = (2x)^2 \], et \( 25 = 5^2 \).

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Donc : \[ 4x^2 - 25 = (2x + 5)(2x - 5) \]

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Conclusion

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Les identités remarquables facilitent la factorisation et la résolution d'expressions algébriques. Les connaître permet de gagner en efficacité en manipulant rapidement les expressions mathématiques.

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