Factorisation : Identités remarquables

Introduction

Les identités remarquables sont des égalités importantes en algèbre qui permettent de simplifier la factorisation de certains polynômes. Elles sont très utiles pour développer ou factoriser rapidement des expressions.

Les trois principales identités remarquables

1. Carré d'une somme :

   Pour tous \y et z réels :

   \[ (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \]

2. Carré d'une différence :

   Pour tous \x et z réels :

   \[ (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \]

3. Produit de la somme par la différence :

   Pour tous \x et z réels :

   \[ (x + y)(x - y) = x^2 - y^2 \]

Utilisation pour la factorisation

Ces identités permettent de reconnaître rapidement des expressions qui correspondent à ces formes :

• Expression : \( x^2 + 2xy + y^2 \)
  Factorisation : \( (x + y)^2 \)
• Expression : \( x^2 - 2xy + y^2 \)
  Factorisation : \( (x - y)^2 \)
• Expression : \( x^2 - y^2 \)
  Factorisation : \( (x + y)(x - y) \)

Exemples

Exemple 1 : Factoriser \( x^2 + 6x + 9 \)

On remarque que : \( 9 = 3^2 \) et \( 6x = 2 \times x \times 3 \). Donc, cela correspond à \( (x + 3)^2 \).

Donc : \[ x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 \]

Exemple 2 : Factoriser \( 4x^2 - 25 \)

Reconnaître la différence de deux carrés : \[ 4x^2 = (2x)^2 \], et \( 25 = 5^2 \).

Donc : \[ 4x^2 - 25 = (2x + 5)(2x - 5) \]

Conclusion

Les identités remarquables facilitent la factorisation et la résolution d'expressions algébriques. Les connaître permet de gagner en efficacité en manipulant rapidement les expressions mathématiques.