Objectifs

• Reconnaître un polynôme, son degré, et vérifier qu'un nombre est un zéro (une racine).
• Factoriser avec un facteur commun, les identités remarquables, ou à partir d'une racine connue.
• Résoudre une équation produit nul.
• Résoudre une équation du second degré par la forme canonique et le discriminant.

1. Polynômes, zéros et racines

Un polynôme est une expression de la forme \(P(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0\), où les \(a_i\) sont des nombres réels. Si \(a_n \neq 0\), l'entier \(n\) est le degré de \(P\). Un polynôme de degré 2 s'appelle un trinôme du second degré : \(ax^2 + bx + c\) avec \(a \neq 0\).

Un nombre \(\alpha\) est un zéro (ou une racine) de \(P\) si \(P(\alpha) = 0\).

2. Factoriser un polynôme

Les trois outils

• Facteur commun : \(ka + kb = k(a + b)\). Exemple : \(6x^2 - 9x = 3x(2x - 3)\).
• Identités remarquables : \[ a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \qquad a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 \qquad a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]
• Racine connue : si \(P(\alpha) = 0\), on écrit \(P(x) = (x - \alpha)Q(x)\) et on trouve \(Q\) par identification des coefficients.

Exemple résolu 1 : identités remarquables

Cherche d'abord : factorise \(A(x) = 9x^2 - 25\) et \(B(x) = x^2 - 8x + 16\).

Exemple résolu 2 : factoriser à partir d'une racine

Soit \(P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6\). Cherche d'abord une racine « évidente » parmi \(-1, 1, 2\), puis factorise complètement.

3. L'équation produit nul

Exemple résolu 3

Résoudre \((2x - 3)(x + 4) = 0\), puis \(x^2 = 7x\).

4. Les équations du second degré

La forme canonique

Tout trinôme \(ax^2 + bx + c\) (avec \(a \neq 0\)) peut s'écrire sous forme canonique :

Exemple : \(x^2 - 4x + 1 = (x - 2)^2 - 4 + 1 = (x - 2)^2 - 3\). Alors \(x^2 - 4x + 1 = 0 \iff (x - 2)^2 = 3 \iff x = 2 - \sqrt{3}\) ou \(x = 2 + \sqrt{3}\).

Le discriminant \(\Delta\)

Le nombre \(\Delta = b^2 - 4ac\) est le discriminant. Il décide du nombre de solutions de \(ax^2 + bx + c = 0\) :

flowchart TD
A[Calculer Delta = b2 - 4ac] --> B{Signe de Delta}
B -->|Delta positif| C[Deux racines distinctes]
B -->|Delta nul| D[Une racine double]
B -->|Delta negatif| E[Aucune racine reelle]

• Si \(\Delta > 0\) : \[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \qquad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \] et \(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\).
• Si \(\Delta = 0\) : une racine double \(x_0 = -\dfrac{b}{2a}\) et \(ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2\).
• Si \(\Delta < 0\) : aucune racine réelle, le trinôme ne se factorise pas.

Voir les racines sur la courbe

Les racines de \(ax^2 + bx + c\) sont les abscisses des points où la parabole coupe l'axe des abscisses. Bouge \(c\) : la parabole monte ou descend et passe de deux points d'intersection à un seul, puis à aucun. C'est exactement le signe de \(\Delta\) qui change.

Avec les valeurs de départ \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = -3\) : \(\Delta = 4 + 12 = 16\), racines \(-1\) et \(3\). Avec \(c = 1\), \(\Delta = 0\) : la parabole touche l'axe en \(x = 1\).

Exemple résolu 4 : le champ de Koffi

Cherche d'abord : résous \(x^2 + 5x - 84 = 0\) et donne les dimensions du champ.

Exemple résolu 5

Cherche d'abord : résous \(2x^2 - 3x - 2 = 0\), puis \(x^2 + x + 1 = 0\).

Récapitulatif