Développer et factoriser une expression littérale

Développer, c'est transformer un produit en somme (on « ouvre » les parenthèses) ; factoriser, c'est faire l'inverse : transformer une somme en produit en mettant en évidence un facteur commun ou une identité remarquable.

Objectifs

Développer avec la distributivité simple \(k(a+b)\) et la double distributivité \((a+b)(c+d)\).
Réduire une expression développée.
Connaître et utiliser les trois identités remarquables.
Factoriser avec un facteur commun ou une identité remarquable.

1. Développer avec la distributivité simple

Pour tous nombres \(k\), \(a\) et \(b\) :

\[k(a+b) = ka + kb \qquad\text{et}\qquad k(a-b) = ka - kb\]

Le facteur \(k\) se « distribue » à chaque terme de la parenthèse, comme un vendeur qui donne un ticket à chaque client de la file.

Développer une expression, c'est l'écrire sous forme d'une somme. Réduire, c'est ensuite regrouper les termes de même nature (les \(x^2\) ensemble, les \(x\) ensemble, les nombres ensemble).

Exemple résolu 1

Développe et réduis \(A = 3(2x+5) - 2(x-4)\).

Cherche d'abord, puis déroule les étapes.

On distribue 3 : \(3(2x+5) = 6x + 15\).

On distribue \(-2\) en faisant attention aux signes : \(-2(x-4) = -2x + 8\).

On regroupe : \(A = 6x + 15 - 2x + 8 = 4x + 23\).

Quel est le développement de \(-5(2x-3)\) ?

\(-10x - 15\)
\(-10x + 15\)
\(10x - 15\)

\(-5 \times 2x = -10x\) et \(-5 \times (-3) = +15\) : moins par moins donne plus.

2. La double distributivité

Pour tous nombres \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) :

\[(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd\]

Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde : on obtient \(2 \times 2 = 4\) produits.

On découpe le grand rectangle de côtés a + b et c + d en quatre petits rectangles.

La bande du haut, de hauteur c, contient deux rectangles d'aires ac et bc.

La bande du bas, de hauteur d, contient deux rectangles d'aires ad et bd.

L'aire totale est la somme des quatre aires : c'est la double distributivité.

Exemple résolu 2

Développe et réduis \(B = (x+3)(2x-1)\).

On fait les quatre produits : \(x \times 2x = 2x^2\) ; \(x \times (-1) = -x\) ; \(3 \times 2x = 6x\) ; \(3 \times (-1) = -3\).

On écrit la somme : \(B = 2x^2 - x + 6x - 3\).

On réduit les termes en \(x\) : \(B = 2x^2 + 5x - 3\).

Vérification avec \(x = 1\) : \((1+3)(2-1) = 4\) et \(2 + 5 - 3 = 4\). Les deux valeurs sont égales.

Vérifie toi-même avec le graphique : les deux courbes, \((x+a)(x+b)\) et sa forme développée \(x^2 + (a+b)x + ab\), se superposent toujours, quelles que soient les valeurs de \(a\) et \(b\).

Quel est le développement réduit de \((x-2)(x+5)\) ?

\(x^2 + 3x - 10\)
\(x^2 - 3x - 10\)
\(x^2 + 3x + 10\)

\(x^2 + 5x - 2x - 10 = x^2 + 3x - 10\).

3. Les identités remarquables

Pour tous nombres \(a\) et \(b\) :

\[ \begin{aligned} (a+b)^2 &= a^2 + 2ab + b^2\\ (a-b)^2 &= a^2 - 2ab + b^2\\ (a+b)(a-b) &= a^2 - b^2 \end{aligned} \]

Exemple résolu 3

Développe \(C = (x+5)^2\), \(D = (2x-3)^2\) et \(E = (x+7)(x-7)\).

Voir la solution

\(C = x^2 + 2 \times x \times 5 + 5^2 = x^2 + 10x + 25\).

\(D = (2x)^2 - 2 \times 2x \times 3 + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9\).

\(E = x^2 - 7^2 = x^2 - 49\).

Quel est le développement de \((3x-1)^2\) ?

\(9x^2 + 1\)
\(9x^2 - 1\)
\(9x^2 - 6x + 1\)

\((3x)^2 - 2 \times 3x \times 1 + 1^2 = 9x^2 - 6x + 1\) : il ne faut pas oublier le double produit.

4. Factoriser

Factoriser une expression, c'est l'écrire sous forme d'un produit. C'est l'opération inverse du développement :

\[ka + kb = k(a+b)\]

Méthode 1 : le facteur commun

\(6x + 9 = 3 \times 2x + 3 \times 3 = 3(2x+3)\)
\(5x^2 - 10x = 5x \times x - 5x \times 2 = 5x(x-2)\)

Exemple résolu 4 : facteur commun entre parenthèses

Factorise \(F = (x+1)(x+2) + (x+1)(3x-4)\).

Cherche d'abord, puis déroule les étapes.

Le facteur commun est la parenthèse entière \((x+1)\).

On l'écrit devant, et on met le reste dans une grande parenthèse : \(F = (x+1)\big[(x+2) + (3x-4)\big]\).

On réduit le crochet : \(x + 2 + 3x - 4 = 4x - 2\), donc \(F = (x+1)(4x-2)\).

On peut encore sortir 2 : \(4x - 2 = 2(2x-1)\), d'où \(F = 2(x+1)(2x-1)\).

Méthode 2 : les identités remarquables « à l'envers »

\[ \begin{aligned} a^2 + 2ab + b^2 &= (a+b)^2\\ a^2 - 2ab + b^2 &= (a-b)^2\\ a^2 - b^2 &= (a+b)(a-b) \end{aligned} \]

Exemple résolu 5

Factorise \(G = x^2 - 25\), \(H = x^2 + 6x + 9\) et \(K = 4x^2 - 9\).

Voir la solution

\(G = x^2 - 5^2 = (x+5)(x-5)\).

\(H = x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2 = (x+3)^2\).

\(K = (2x)^2 - 3^2 = (2x+3)(2x-3)\).

Vérification en redéveloppant \(K\) : \((2x+3)(2x-3) = 4x^2 - 6x + 6x - 9 = 4x^2 - 9\).

Quelle est la forme factorisée de \(x^2 - 10x + 25\) ?

\((x+5)^2\)
\((x-5)^2\)
\((x-5)(x+5)\)

\(x^2 - 2 \times x \times 5 + 5^2 = (x-5)^2\). La forme \((x-5)(x+5)\) donnerait \(x^2 - 25\).

Quelle est la forme factorisée de \(7x^2 + 14x\) ?

\(7x(x+2)\)
\(7(x^2+14x)\)
\(x(7x+2)\)

Le facteur commun est \(7x\) : \(7x \times x + 7x \times 2 = 7x(x+2)\).

Erreurs fréquentes

Oublier de changer les signes après un « \(-\) » devant une parenthèse.
Écrire \((a+b)^2 = a^2 + b^2\) en oubliant \(2ab\).
Ne faire que deux des quatre produits dans \((a+b)(c+d)\).
S'arrêter avant la fin d'une factorisation : vérifier s'il reste un facteur commun, comme dans \(4x-2 = 2(2x-1)\).
Ne pas vérifier : redévelopper une forme factorisée, ou remplacer \(x\) par une valeur simple, permet de détecter une erreur.

Récapitulatif

Développer : produit → somme. Factoriser : somme → produit.
\(k(a+b) = ka + kb\) et \((a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd\).
Identités remarquables : \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\), \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\).
Pour factoriser : chercher un facteur commun, sinon reconnaître une identité remarquable.

Développer

Transformer un produit en somme : \(3(x+2) = 3x + 6\).

Factoriser

Transformer une somme en produit : \(3x + 6 = 3(x+2)\).

Double distributivité

\((a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd\)

Carré d'une somme

\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

Carré d'une différence

\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)

Différence de deux carrés

\(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\)