Factorisations et développement

Ce cours présente les notions essentielles pour comprendre la factorisation et le développement en mathématiques, outils importants pour simplifier les expressions et résoudre des équations.

1. Développement (ou expansion)

Le développement consiste à écrire un produit en une somme. Par exemple :

• Pour \((a + b) imes c\), le développement est :

  (a + b) 	imes c = ac + bc

• Pour \((x + 2)^2\), le développement est :

  (x + 2)^2 = x^2 + 2 	imes x 	imes 2 + 2^2 = x^2 + 4x + 4

Le développement permet de transformer une expression en une somme, ce qui facilite sa manipulation.

2. Factorisation

La factorisation consiste à écrire une expression sous forme d'un produit. Exemple :

• Pour \(x^2 + 4x\), on peut factoriser par \(x\) :

  x^2 + 4x = x 	imes (x + 4)

• Pour \(a^2 - b^2\), la différence de deux carrés, on utilise la formule :

  a^2 - b^2 = (a - b) 	imes (a + b)

Ces techniques permettent de simplifier des expressions, de résoudre des équations et de trouver des racines.

3. Principales formules de factorisation

• \(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\) (parfaite carré)

• \(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\) (parfaite carré)

• \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\) (différence de carrés)

• \(ax^2 + bx + c\) peut parfois être factorisé selon le discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\)

4. Exemple d'exercice

Factoriser l'expression :

x^2 + 5x + 6

Solution :

Nous cherchons deux nombres dont la somme est 5 et le produit 6 : ce sont 2 et 3.

x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

5. Résumé

• Le développement transforme un produit en somme.
• La factorisation retrouve le produit à partir d'une somme.
• Ces outils sont essentiels en algèbre pour simplifier et résoudre des équations.

Pratiquez régulièrement pour maîtriser ces techniques.