Introduction

En mathématiques, la factorisation et le développement sont deux opérations essentielles pour simplifier et manipuler des expressions algébriques. Elles permettent de résoudre des équations, de simplifier des expressions, ou de les mettre sous une forme plus exploitable.

Le développement

Le développement consiste à développer un produit en une somme ou une différence. Par exemple, en utilisant la distributivité :

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Exemple : développer \((x + 3)(x + 2)\)

En utilisant la distributivité :

\(x 	imes x + x 	imes 2 + 3 	imes x + 3 	imes 2 = x^2 + 2x + 3x + 6\)

Ce qui donne, en regroupant :

\(x^2 + 5x + 6\)

La factorisation

La factorisation consiste à écrire une expression algébrique comme un produit de facteurs. C'est l'opération inverse du développement.

Facteur commun

On recherche un facteur commun dans tous les termes :

ax + bx = (a + b) × x

Exemple : \(6x + 9 = 3 imes 2x + 3 imes 3 = 3(2x + 3)\)

Factorisation d'un trinôme

Pour factoriser un trinôme de la forme \(ax^2 + bx + c\), on cherche deux nombres dont :

• leur somme est égale à \(b\)
• leur produit est égal à \(a imes c\)

exemple : factoriser \(x^2 + 5x + 6\)

On cherche deux nombres dont la somme est \(5\) et le produit \(6\)

Ils sont \(2\) et \(3\)

On peut donc écrire :

\(x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)\)

Résumé

• Le développement consiste à ouvrir une expression en une somme.
• La factorisation consiste à écrire une expression en produit de facteurs.
• Ces opérations sont complémentaires et permettent de simplifier ou de résoudre des équations.