Factoriser puis développer

Développer, c'est transformer un produit en somme en distribuant la multiplication ; factoriser, c'est faire l'inverse en sortant le facteur commun.

Objectifs

Développer une expression avec la distributivité simple : \(k(a+b) = ka + kb\).
Développer avec la double distributivité : \((a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd\).
Factoriser une somme en repérant un facteur commun : \(ka + kb = k(a+b)\).
Vérifier une factorisation en la développant, puis réduire le résultat.

1. Développer avec la distributivité simple

C'est la distributivité : le nombre devant la parenthèse se « distribue » à chaque terme, comme le vendeur qui donne une part à chaque client.

\[ k(a + b) = ka + kb \qquad k(a - b) = ka - kb \]

Développer, c'est écrire un produit sous forme de somme (ou de différence). Réduire, c'est ensuite regrouper les termes semblables.

\(A = 5 \times x + 5 \times 4 = 5x + 20\).

Pour \(B\), le facteur est \(-3\), avec son signe : \(B = (-3) \times 2x + (-3) \times (-5)\).

\(B = -6x + 15\) (car \((-3) \times (-5) = +15\)).

Manipule : les deux écritures sont égales

Le graphique trace \(y = a(x + b)\) et sa forme développée \(y = ax + ab\). Bouge les curseurs : les deux droites restent toujours superposées, car ce sont deux écritures de la même expression.

La forme développée de \(4(x - 2)\) est :

\(4x - 2\)
\(4x + 8\)
\(4x - 8\)

On multiplie chaque terme par 4 : \(4 \times x - 4 \times 2 = 4x - 8\). Oublier de multiplier le 2 est l'erreur la plus fréquente.

2. Développer avec la double distributivité

On coupe la longueur en x et 3, la largeur en x et 2 : le champ est partagé en quatre parcelles.

Les aires des parcelles sont x², 3x, 2x et 6 : l'aire totale vaut x² + 3x + 2x + 6, soit x² + 5x + 6.

On retrouve la règle de la double distributivité : chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde.

\[ (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd \]

Voir la solution

\begin{align} C &= 2x \times x + 2x \times 4 + (-1) \times x + (-1) \times 4 \\ &= 2x^2 + 8x - x - 4 \\ &= 2x^2 + 7x - 4 \end{align}

La forme développée réduite de \((x + 2)(x + 3)\) est :

\(x^2 + 6\)
\(x^2 + 5x + 6\)
\(2x + 5\)

\(x \times x + x \times 3 + 2 \times x + 2 \times 3 = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6\). Il ne faut oublier aucun des 4 produits.

3. Factoriser : le chemin inverse

Factoriser, c'est écrire une somme sous forme de produit. On repère le facteur commun présent dans chaque terme, puis on le place devant la parenthèse :

\[ ka + kb = k(a + b) \qquad ka - kb = k(a - b) \]

flowchart LR
A[Somme de termes] --> B[Reperer le facteur commun]
B --> C[Le sortir devant la parenthese]
C --> D[Ecrire ce qui reste dans la parenthese]
D --> E[Verifier en developpant]

\(D = 6 \times x + 6 \times 3\) : le facteur commun est \(6\), donc \(D = 6(x + 3)\).

\(E = 7x \times x - 7x \times 2\) : le facteur commun est \(7x\), donc \(E = 7x(x - 2)\).

Dans \(F\), le facteur commun est la parenthèse \((x + 1)\) : \(F = (x + 1)\big[(x + 5) + (2x - 3)\big]\).

On réduit le crochet : \(F = (x + 1)(3x + 2)\).

Une factorisation de \(9x + 12\) est :

\(3(3x + 4)\)
\(9(x + 12)\)
\(3(3x + 12)\)

\(9x = 3 \times 3x\) et \(12 = 3 \times 4\) : le facteur commun est 3, donc \(9x + 12 = 3(3x + 4)\).

4. Factoriser puis développer pour vérifier

Voir la solution

On développe la forme factorisée :

\[ (x + 1)(3x + 2) = 3x^2 + 2x + 3x + 2 = 3x^2 + 5x + 2 \]

On développe l'expression de départ :

\begin{align} F &= (x^2 + 5x + x + 5) + (2x^2 - 3x + 2x - 3) \\ &= x^2 + 6x + 5 + 2x^2 - x - 3 \\ &= 3x^2 + 5x + 2 \end{align}

Les deux résultats sont identiques : la factorisation est juste.

Ibrahim écrit \(10x - 15 = 5(2x - 15)\). En développant pour vérifier, il trouve :

\(10x - 15\) : c'est juste
\(10x - 3\) : c'est faux
\(10x - 75\) : c'est faux

\(5(2x - 15) = 10x - 75\), différent de \(10x - 15\). La bonne factorisation est \(5(2x - 3)\), car \(15 = 5 \times 3\).

5. Erreurs fréquentes

Récapitulatif

Développer : produit \(\rightarrow\) somme. Factoriser : somme \(\rightarrow\) produit.
Distributivité simple : \(k(a + b) = ka + kb\).
Double distributivité : \((a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd\).
Factoriser : repérer le facteur commun \(k\) et écrire \(ka + kb = k(a + b)\).
Toujours vérifier une factorisation en la développant (ou avec un nombre).

Développer

Transformer un produit en somme : \(k(a + b) = ka + kb\)

Double distributivité

\((a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd\) : 4 produits

Factoriser

Transformer une somme en produit : \(ka + kb = k(a + b)\)

Facteur commun

Nombre, lettre ou parenthèse présent dans chaque terme, par exemple \(7x\) dans \(7x^2 - 14x\)

Réduire

Regrouper les termes semblables : \(8x - x = 7x\)