Factoriser un polynôme et montrer qu'un nombre est racine

Si \(P(\alpha)=0\), alors \(P(x)\) se factorise par \((x-\alpha)\) ; le quotient se trouve par division euclidienne, par la méthode de Horner ou par identification.

Objectifs

Montrer qu'un nombre est racine d'un polynôme, et repérer les racines évidentes \(1\) et \(-1\).
Connaître le lien entre racine et factorisation par \((x-\alpha)\).
Trouver le quotient par trois méthodes : division euclidienne, tableau de Horner, identification.
Factoriser complètement un polynôme de degré 3.

Notions clés

1. Montrer qu'un nombre est racine

Deux tests rapides donnent souvent une racine « évidente » :

\(1\) est racine si la somme des coefficients est nulle, car \(P(1)\) est cette somme ;
\(-1\) est racine si la somme des coefficients des termes de degré pair est égale à la somme des coefficients des termes de degré impair.

Sinon, on essaie de petites valeurs entières (\(2, -2, 3, -3\dots\)) ; pour un polynôme à coefficients entiers et de coefficient dominant \(1\), une racine entière divise le terme constant.

Lequel de ces polynômes admet \(1\) comme racine ?

\(x^3+2x^2-x+1\)
\(2x^3-5x^2+x+2\)
\(x^3+x^2+x+1\)

Somme des coefficients : \(2-5+1+2=0\), donc \(P(1)=0\). Pour les autres : \(3\) et \(4\).

2. Racine et factorisation

Il reste à trouver \(Q\). Voici trois méthodes ; elles donnent toujours le même résultat.

flowchart LR
A[Chercher une racine alpha] --> B[Vérifier P de alpha égal à 0]
B --> C[Trouver Q]
C --> D[Division euclidienne]
C --> E[Horner]
C --> F[Identification]
D --> G[Factoriser Q]
E --> G
F --> G

3. La division euclidienne

Exemple : \(P(x)=x^3+x^2-4x-4\). Termes de degré pair : \(1+(-4)=-3\) ; de degré impair : \(1+(-4)=-3\). Donc \(-1\) est racine. On divise par \((x+1)\) :

\(x^3\div x=x^2\). On multiplie : \(x^2(x+1)=x^3+x^2\). On soustrait : \((x^3+x^2-4x-4)-(x^3+x^2)=-4x-4\).

\(-4x\div x=-4\). On multiplie : \(-4(x+1)=-4x-4\). On soustrait : reste \(0\).

Quotient : \(Q(x)=x^2-4\). Donc \[P(x)=(x+1)(x^2-4)=(x+1)(x-2)(x+2).\]

4. La méthode de Horner

Exemple : \(P(x)=2x^3-3x^2-11x+6\) et \(\alpha=3\). On écrit les coefficients dans l'ordre des puissances décroissantes, sans en oublier (un coefficient absent vaut \(0\)).

Étape 1 : on descend le premier coefficient, 2.

Étape 2 : 2 × 3 = 6, que l'on ajoute à −3 : on obtient 3.

Étape 3 : 3 × 3 = 9, que l'on ajoute à −11 : on obtient −2.

Étape 4 : −2 × 3 = −6, que l'on ajoute à 6 : on obtient 0. Le reste est nul, donc 3 est bien racine.

La dernière ligne donne les coefficients de \(Q\) : \(Q(x)=2x^2+3x-2\). Donc \(P(x)=(x-3)(2x^2+3x-2)\).

5. L'identification

Exemple : \(R(x)=x^3-7x+6\). Somme des coefficients : \(1+0-7+6=0\), donc \(1\) est racine. On cherche \(R(x)=(x-1)(ax^2+bx+c)\) :

\[(x-1)(ax^2+bx+c)=ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c.\] \[\begin{cases} a=1\\ b-a=0\\ c-b=-7\\ -c=6\end{cases}\quad\text{donc}\quad a=1,\ b=1,\ c=-6.\]

Donc \(R(x)=(x-1)(x^2+x-6)=(x-1)(x-2)(x+3)\).

Dans un tableau de Horner pour diviser \(P\) par \((x-2)\), la dernière case vaut \(5\). Que peut-on conclure ?

\(2\) n'est pas racine de \(P\), et \(P(2)=5\).
\(5\) est racine de \(P\).
\(2\) est racine de \(P\).

La dernière case est le reste, égal à \(P(2)\). Comme il n'est pas nul, \(2\) n'est pas racine.

Exemple résolu complet

Factorise complètement \(P(x)=2x^3-3x^2-11x+6\), puis résous \(P(x)=0\). Cherche d'abord.

Recherche d'une racine : \(P(1)=-6\), \(P(-1)=12\), \(P(2)=16-12-22+6=-12\), \(P(3)=54-27-33+6=0\). Donc \(3\) est racine.

Quotient (Horner ci-dessus) : \(P(x)=(x-3)(2x^2+3x-2)\).

Factorisation du trinôme : \(\Delta=3^2-4\times2\times(-2)=9+16=25\), \(\sqrt{\Delta}=5\). \[x_1=\frac{-3-5}{4}=-2,\qquad x_2=\frac{-3+5}{4}=\frac{1}{2}.\] Donc \(2x^2+3x-2=2(x+2)\left(x-\frac12\right)=(x+2)(2x-1)\).

Conclusion : \[P(x)=(x-3)(x+2)(2x-1),\] et \(P(x)=0\) a pour solutions \(-2\), \(\frac12\) et \(3\).

À toi : factorise \(T(x)=x^3-6x^2+11x-6\). Cherche d'abord.

Voir la solution

Somme des coefficients : \(1-6+11-6=0\), donc \(1\) est racine. Horner avec \(\alpha=1\) sur \(1,\ -6,\ 11,\ -6\) donne \(1,\ -5,\ 6\) et le reste \(0\). Donc \(T(x)=(x-1)(x^2-5x+6)\). Le trinôme a pour racines \(2\) et \(3\) (somme \(5\), produit \(6\)). Ainsi \[T(x)=(x-1)(x-2)(x-3).\]

Quelle est la forme factorisée de \(x^3+x^2-4x-4\) ?

\((x-1)(x-2)(x+2)\)
\((x+1)(x-4)\)
\((x+1)(x-2)(x+2)\)

\(-1\) est racine et le quotient est \(x^2-4=(x-2)(x+2)\).

Erreurs fréquentes

Se tromper de signe : diviser par \((x+1)\) revient à utiliser \(\alpha=-1\) dans Horner, pas \(1\).
Soustraire au lieu d'ajouter : dans Horner, on ajoute le produit au coefficient suivant ; dans la division posée, on soustrait le produit.
S'arrêter trop tôt : « factoriser complètement » demande aussi de factoriser le trinôme quand son discriminant est positif ou nul.
Oublier le coefficient dominant : \(2x^2+3x-2=2(x+2)\left(x-\frac12\right)\), pas \((x+2)\left(x-\frac12\right)\).

Récapitulatif

\(\alpha\) est racine de \(P\) si \(P(\alpha)=0\) ; tests rapides pour \(1\) et \(-1\).
\(P(\alpha)=0\) si et seulement si \(P(x)=(x-\alpha)\,Q(x)\), avec \(\deg Q=\deg P-1\).
Trois méthodes pour \(Q\) : division euclidienne, Horner (multiplier par \(\alpha\), ajouter), identification.
On termine en factorisant \(Q\) (discriminant pour un trinôme).

Racine

Nombre α tel que P(α) = 0.

Racine évidente 1

1 est racine quand la somme des coefficients est nulle.

Factorisation par x − α

P(α) = 0 si et seulement si P(x) = (x − α) Q(x), avec Q de degré n − 1.

Horner

Descendre le 1er coefficient, puis multiplier par α et ajouter au suivant ; la dernière case est P(α).

Identification

Développer (x − α)(ax² + bx + c) et égaler les coefficients de même degré.