Figures planes, Aires, Angles et Optimisation
Figures planes, Aires, Angles et Optimisation
1. Figures planes
Les figures planes sont des formes géométriques dessinées sur un plan. Les principales sont :
- Triangle
- Rectangle
- Cercle
- Parallélogramme
- Trapèze
2. Aires
L'aire est la surface qu'occupe une figure. Elle se mesure en cm2 ou m2.
2.1 Aires des principales figures
- Rectangle : Aire = longueur × largeur
- Triangle : Aire = \( rac{1}{2} imes base imes hauteur\)
- Cercle : Aire = \pi imes r^2\)
3. Angles
Un angle est la réunion de deux demi-droites appelées côtés. La mesure d’un angle se donne en degrés (°).
3.1 Types d’angles
- Angles aigus : < 90°
- Angles droits : 90°
- Angles obtus : > 90° et < 180°
- Angles plats : 180°
3.2 Relations entre angles
- Somme des angles d’un triangle : \(angle_A + angle_B + angle_C = 180^\circ\)
- Angles complémentaires : dont la somme est 90°
- Angles suppléments : dont la somme est 180°
4. Optimisation
L’optimisation consiste à chercher la valeur maximale ou minimale d’une quantité. Exemple : déterminer la surface maximale d’un rectangle de périmètre donné.
4.1 Exemple d’optimisation
Soit un rectangle de périmètre \( P = 2(L + l) \). Si on souhaite maximiser l’aire \(A = L imes l\) en fonction de \(L\), on exprime \(l\) :
\( l = rac{P}{2} - L \)
puis l’aire en fonction de \(L\) :
\[ A(L) = L imes \left( rac{P}{2} - L ight) = -L^2 + rac{P}{2} L \]
Pour maximiser \(A(L)\), on calcule la dérivée :
\( A'(L) = -2L + rac{P}{2} \)
On résout \(A'(L) = 0\) :
\( -2L + rac{P}{2} = 0 \implies L = rac{P}{4} \)
La valeur de \(l\) correspondante est aussi \( rac{P}{4}\), ce qui indique que le carré est la figure qui maximise l’aire pour un périmètre donné.
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