Fonction affine

Une fonction affine, c'est un point de départ b plus une augmentation régulière a à chaque pas : sa courbe est toujours une droite, et le signe de a dit si elle monte ou si elle descend.

Objectifs

Reconnaître une fonction affine \(f(x) = ax + b\), ainsi que les cas linéaire et constant.
Représenter une fonction affine par une droite et lire graphiquement \(a\) et \(b\).
Calculer \(a\) et \(b\) à partir de deux points.
Démontrer et utiliser le sens de variation selon le signe de \(a\).
Étudier le signe de \(ax + b\) et résoudre des problèmes concrets (comparaison de tarifs).

1. Définition

Une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) est affine s'il existe deux réels \(a\) et \(b\) tels que, pour tout réel \(x\) : \[ f(x) = ax + b \]

\(a\) est le coefficient directeur ; \(b\) est l'ordonnée à l'origine, car \(f(0) = b\).
Si \(b = 0\) : \(f(x) = ax\) est linéaire ; elle traduit une situation de proportionnalité.
Si \(a = 0\) : \(f(x) = b\) est constante.

Laquelle de ces fonctions n'est pas affine ?

\(f(x) = 4 - 7x\)
\(g(x) = \dfrac{x}{3}\)
\(h(x) = x^2 + 1\)
\(k(x) = -2\)

\(x^2\) n'est pas de la forme \(ax + b\). Les autres le sont : \(a = -7, b = 4\) ; \(a = \frac{1}{3}, b = 0\) (linéaire) ; \(a = 0, b = -2\) (constante).

2. Représentation graphique

Dans un repère, la courbe d'une fonction affine est une droite d'équation \(y = ax + b\). Elle coupe l'axe des ordonnées au point \((0\,;\,b)\). Une fonction linéaire est représentée par une droite qui passe par l'origine.

Lire \(a\) et \(b\) sur le graphique

Quand on avance de 1 vers la droite, on monte de \(a\) (ou on descend si \(a < 0\)). Suis la construction de la droite de \(f(x) = 2x + 1\) :

On place d'abord le point \((0\,;\,1)\) sur l'axe des ordonnées : c'est l'ordonnée à l'origine \(b = 1\).

À partir de ce point, on avance de 1 vers la droite et on monte de \(a = 2\) : on obtient le point \((1\,;\,3)\).

On trace la droite qui passe par ces deux points : c'est la représentation de \(f\).

À toi : bouge les curseurs et observe comment \(a\) incline la droite et comment \(b\) la fait glisser.

Une droite coupe l'axe des ordonnées en \(-3\) et, quand on avance de 1, elle descend de 4. Quelle fonction représente-t-elle ?

\(f(x) = -4x - 3\)
\(f(x) = -3x - 4\)
\(f(x) = 4x - 3\)

Ordonnée à l'origine \(b = -3\) ; elle descend de 4 pour un pas de 1, donc \(a = -4\).

3. Calculer \(a\) et \(b\) à partir de deux points

Si \(f\) est affine et \(x_1 \neq x_2\), les accroissements sont proportionnels : \[ a = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \] Puis on obtient \(b\) avec \(b = f(x_1) - a\,x_1\).

Exemple résolu

Déterminer la fonction affine \(f\) telle que \(f(-1) = 5\) et \(f(2) = -1\).

Coefficient directeur : \(a = \dfrac{-1 - 5}{2 - (-1)} = \dfrac{-6}{3} = -2\).

On utilise \(f(2) = -1\) : \(-2 \times 2 + b = -1\), donc \(-4 + b = -1\) et \(b = 3\).

Conclusion : \(f(x) = -2x + 3\).

Vérification avec l'autre point : \(f(-1) = -2 \times (-1) + 3 = 2 + 3 = 5\). C'est juste.

À ton tour : le tarif de Kodjo

\(f(6) = 3\,300\) et \(f(10) = 4\,500\). Trouve le prix du mètre cube et l'abonnement.

Voir la solution

\(a = \dfrac{4\,500 - 3\,300}{10 - 6} = \dfrac{1\,200}{4} = 300\) F CFA par m³.

\(b = 3\,300 - 300 \times 6 = 3\,300 - 1\,800 = 1\,500\) F CFA d'abonnement. Donc \(f(x) = 300x + 1\,500\).

Une droite passe par \(A(0\,;\,2)\) et \(B(4\,;\,10)\). Quel est son coefficient directeur ?

\(8\)
\(2\)
\(4\)
\(\dfrac{1}{2}\)

\(a = \frac{10 - 2}{4 - 0} = \frac{8}{4} = 2\). Ici \(b = 2\) aussi, car la droite passe par \((0\,;\,2)\).

4. Sens de variation

Démonstration

Soient deux réels \(x_1 < x_2\). On calcule la différence : \(f(x_2) - f(x_1) = (a x_2 + b) - (a x_1 + b) = a(x_2 - x_1)\).

Comme \(x_1 < x_2\), le nombre \(x_2 - x_1\) est strictement positif.

Si \(a > 0\), le produit \(a(x_2 - x_1)\) est positif, donc \(f(x_1) < f(x_2)\) : \(f\) conserve l'ordre, elle est croissante.

Si \(a < 0\), le produit est négatif, donc \(f(x_1) > f(x_2)\) : \(f\) inverse l'ordre, elle est décroissante.

Quel est le sens de variation de \(f(x) = 7 - 0{,}2x\) ?

Croissante, car 7 est positif
Décroissante, car \(a = -0{,}2\)
Constante

Le coefficient directeur est le nombre devant \(x\) : \(a = -0{,}2 < 0\). Le 7 est l'ordonnée à l'origine, il ne décide pas du sens.

5. Signe de \(ax + b\)

Si \(a \neq 0\), \(ax + b\) s'annule pour \(x = -\dfrac{b}{a}\). Le signe change à cet endroit :

\(x\)	avant \(-\frac{b}{a}\)	en \(-\frac{b}{a}\)	après \(-\frac{b}{a}\)
si \(a > 0\)	\(-\)	0	\(+\)
si \(a < 0\)	\(+\)	0	\(-\)

Exemple résolu

Étudier le signe de \(B(x) = 250x - 6\,000\), puis conclure pour Aminata. Cherche d'abord !

Voir la solution

\(250x - 6\,000 = 0 \iff x = \dfrac{6\,000}{250} = 24\).

\(a = 250 > 0\) : \(B(x) < 0\) pour \(x < 24\), \(B(24) = 0\) et \(B(x) > 0\) pour \(x > 24\).

Aminata rentre dans ses frais avec 24 sachets et fait un bénéfice à partir du 25ᵉ sachet vendu.

Pour quelles valeurs de \(x\) a-t-on \(-2x + 3 > 0\) ?

\(x > 1{,}5\)
\(x > -1{,}5\)
\(x < 1{,}5\)
\(x < -1{,}5\)

\(-2x + 3 = 0\) pour \(x = 1{,}5\). Comme \(a = -2 < 0\), l'expression est positive avant \(1{,}5\).

6. Application : comparer deux tarifs

Offre A : 2 000 F CFA par mois plus 25 F CFA la minute, soit \(f(x) = 25x + 2\,000\). Offre B : 50 F CFA la minute sans abonnement, soit \(g(x) = 50x\). Ici \(x\) est le nombre de minutes par mois.

Les deux offres coûtent pareil quand \(25x + 2\,000 = 50x\), soit \(2\,000 = 25x\), donc \(x = 80\) minutes.

Pour 80 minutes, chaque offre coûte \(50 \times 80 = 4\,000\) F CFA : c'est le point d'intersection \((80\,;\,4\,000)\) des deux droites.

Avant 80 minutes, la droite de B est en dessous : B est moins chère. Après 80 minutes, c'est A qui est moins chère.

Erreurs fréquentes

Prendre le terme constant pour le coefficient directeur (dans \(f(x) = 3 - 5x\), \(a = -5\)).
Inverser l'ordre dans le calcul de \(a\) ou oublier les parenthèses avec les nombres négatifs.
Croire qu'une fonction affine est toujours proportionnelle : c'est le cas seulement si \(b = 0\).
Se tromper de sens dans le tableau de signes quand \(a < 0\).

Récapitulatif

Cartes mémo

Fonction affine

f(x) = ax + b, définie sur R ; sa courbe est une droite.

Coefficient directeur a

Variation de y quand x augmente de 1 ; a = (f(x2) - f(x1)) / (x2 - x1).

Ordonnée à l'origine b

b = f(0) : la droite coupe l'axe des ordonnées au point (0 ; b).

Sens de variation

a positif : croissante ; a négatif : décroissante ; a nul : constante.

Signe de ax + b

S'annule en -b/a ; à droite de cette valeur, signe de a ; à gauche, signe contraire.

Fonction linéaire

Cas b = 0 : f(x) = ax, situation de proportionnalité, droite passant par l'origine.