La Fonction Exponentielle : Définition à partir d'une Équation Différentielle

Introduction

La fonction exponentielle peut être définie de plusieurs manières. Ici, nous abordons sa définition à travers une équation différentielle, ce qui souligne son lien avec le changement continu.

1. L'équation différentielle

Considérons l'équation différentielle suivante :

\[ f'(x) = f(x) \]

Celle-ci indique que la dérivée de la fonction \(f\) par rapport à \(x\) est égale à la fonction elle-même.

2. La condition initiale

Nous ajoutons la condition suivante :

\[ f(0) = 1 \]

Elle précise la valeur de la fonction en \(x = 0\).

3. Résolution de l'équation différentielle

Recherchons une fonction \(f\) qui satisfait à cette équation et à cette condition.

Une méthode consiste à séparer les variables :

\[ rac{f'(x)}{f(x)} = 1 \]

En intégrant des deux côtés :

\[ \int rac{f'(x)}{f(x)} dx = \int 1 dx \]

Ce qui donne :

\[ \ln|f(x)| = x + C \]

En exponentiant :

\[ f(x) = e^{x + C} = e^{C} 	imes e^{x} \]

Posons \(A = e^{C}\), une constante à déterminer.

4. Détermination de la constante

Utilisons la condition initiale \(f(0) = 1\) :

\[ 1 = f(0) = A 	imes e^{0} = A \]

Donc, \(A=1\), et la fonction est :

\[ f(x) = e^{x} \]

Conclusion

La fonction qui satisfait l'équation différentielle \(f' = f\) avec la condition \(f(0) = 1\) est la fonction exponentielle :

\[ f(x) = e^{x} \]

Elle joue un rôle fondamental en mathématiques, notamment pour modéliser des phénomènes de croissance et de décroissance exponentielle.