Fonction exponentielle : définition via une équation différentielle

Introduction

La fonction exponentielle est une fonction fondamentale en mathématiques. Elle peut être définie de différentes manières, notamment par une équation différentielle.

Définition par l'équation différentielle

La fonction exponentielle, notée f, est la seule fonction définie sur ℝ qui satisfait l'équation différentielle suivante :

• f'(x) = f(x)

avec la condition initiale :

• f(0) = 1

Interprétation

Cette équation indique que la dérivée de f est égale à elle-même. Cela signifie que f croît de manière proportionnelle à sa valeur actuelle.

Solution de l'équation différentiel

La solution unique, qui vérifie la condition initiale, est :

f(x) = ex

où e est la base du logarithme naturel, environ 2,718.

Conclusion

La fonction exponentielle peut ainsi être définie comme la solution particulière de cette équation différentielle. Elle joue un rôle clé dans de nombreux domaines des sciences et des mathématiques.