Introduction

La fonction exponentielle est une fonction importante en mathématiques, notée \(f(x) = e^x\). Elle possède une propriété remarquable : sa dérivée est égale à elle-même.

Définition de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle \(f : \mathbb{R} o \mathbb{R}\) est définie par :

f(x) = e^x

Calcul de la dérivée

La dérivée de \(f(x) = e^x\) par rapport à \(x\) est :

\(f'(x) = rac{d}{dx} e^x\)

Grâce à la propriété fondamentale de la fonction exponentielle, cette dérivée est :

\(f'(x) = e^x\)

Preuve intuitive

Considérons la définition de la dérivée :

\[f'(x) = \lim_{h o 0} rac{e^{x+h} - e^x}{h}\]

Factorisons \(e^x\) :

\[f'(x) = e^x \lim_{h o 0} rac{e^h - 1}{h}\]

On sait que :

\[ \lim_{h o 0} rac{e^h - 1}{h} = 1 \]

Donc, la dérivée est :

\[f'(x) = e^x imes 1 = e^x \]

Conclusion

La fonction exponentielle \(e^x\) est unique car sa dérivée est elle-même : \(f'(x) = e^x\). Cela en fait une fonction fondamentale en analyse.