Fonction exponentielle et lien avec les suites géométriques

1. La fonction exponentielle

La fonction exponentielle est définie par la formule fondamentale :

\[f(x) = e^x\]

où \(e pprox 2,71828\) est la base de la logarithme naturel.

2. Rappel sur les suites géométriques

Une suite géométrique \((u_n)\) est une suite dans laquelle chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par un même nombre appelé raison, noté \(q\).

La formule du terme général est :

\[u_n = u_0 imes q^n\]

où \(u_0\) est le premier terme de la suite.

3. Le lien entre la fonction exponentielle et les suites géométriques

Lorsque l'on considère la suite \((u_n)\) définie par :

\[u_n = u_0 imes q^n\]

pour un \(q > 0\), cette suite est une suite géométrique dont la raison est \(q\).

Si on laisse \(n\) tendre vers l'infini et si \(q\) est proche de 1, on peut faire apparaître une notion continue en remplaçant la puissance \(q^n\) par une fonction exponentielle :

\[q^n = e^{n \ln q}\]

Ce qui montre que :

\[u_n = u_0 imes e^{n \ln q}\]

et que la croissance ou décroissance d'une suite géométrique peut s'analyser à l'aide de la fonction exponentielle.

4. Résumé

• La fonction exponentielle \(e^x\) permet de modéliser la croissance exponentielle.
• Les suites géométriques ont une forme \(u_0 imes q^n\).
• En utilisant \(e^{n \ln q}\), on relie la suite géométrique à la fonction exponentielle, révélant leur lien étroit.