Fonction exponentielle et liens avec les suites géométriques

Les fonctions exponentielles sont liées aux suites géométriques par leur formule de croissance ou décroissance.

Objectifs

La fonction exponentielle : \(f(x) = a \times r^x\) avec \(a > 0\) et \(r > 0, r \neq 1\).
Une suite géométrique : la suite \(\left( u_n \right)\) telle que \(u_{n+1} = u_n \times q\), où \(q\) est la raison.
Relation : la fonction exponentielle généralise la croissance géométrique selon une variable continue.

On considère une suite géométrique \(\left( u_n \right)\) avec \(u_0 = 2\) et raison \(q = 3\). La suite est définie par :

On peut écrire la formule générale :

\[ u_n = u_0 \times q^n = 2 \times 3^n \]

En utilisant la fonction exponentielle, cette formule devient :

\[ u_n = 2 \times e^{n \ln{3}} \]

Ainsi, la suite géométrique peut s'écrire comme une fonction exponentielle en la différenciant selon n.

Voir la solution

On remplace \(q^n\) par \( e^{n \ln q} \), d'où :

\[ u_n = u_0 \times e^{n \ln q} \]

Étape 1 : La suite géométrique est donnée par \( u_n = 2 \times 3^n \).

Étape 2 : Conversion en exponentielle : \( 3^n = e^{n \ln 3} \).

Étape 3 : La formule générale s'écrit : \( u_n = 2 \times e^{n \ln 3} \).

Quelle est la raison pour laquelle la suite géométrique s'écrit en exponentielle ?

C'est parce que \( q^n = e^{n \ln q} \), ce qui relie la suite géométrique à la fonction exponentielle.

Fonction exponentielle

Fonction \(f(x) = a \times r^{x}\) avec \(a > 0\), \(r > 0\), \( r \neq 1 \)

Suite géométrique

Suite où chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par une raison constante

Lien

Une suite géométrique peut s'écrire avec une exponentielle : \( u_n = u_0 \times e^{n \ln{q}} \)

Quelle étape est clé pour relier la suite géométrique à la fonction exponentielle ?

L'utilisation de la formule \( q^n = e^{n \ln q} \) permet d'écrire la suite en forme exponentielle.