Fonction Exponentielle : Modélisation de la Croissance et de la Décroissance Continue

Introduction

La fonction exponentielle est fondamentale en mathématiques pour modéliser des phénomènes de croissance ou de décroissance continue, comme la population ou la désintégration radioactive.

Définition de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle est notée \(f(x) = a \times e^{kx}\), où :

\(a\) est une constante positive représentant le début de la croissance ou de la décroissance;
\(k\) est un paramètre réel complémentaires indiquant la vitesse de croissance (\(k > 0\)) ou de décroissance (\(k < 0\));
\(e\) est la base de la logarithme naturel, environ égal à 2,718.

Modélisation de la croissance continue

Si une quantité \(Q(t)\) croît de façon continue à un taux proportionnel à elle-même, elle peut s'écrire :

\[ Q(t) = Q_0 \times e^{kt} \]

où :

\(Q_0\) est la quantité initiale au temps \(t=0\);
\(k > 0\) indique une croissance rapide.

Exemple : si une population de 1000 individus croît de 5% par an, alors :

\[ Q(t) = 1000 \times e^{0,05 t} \]

Modélisation de la décroissance continue

Pour un phénomène de décroissance, la formule est similaire, mais avec un \(k < 0\) :

\[ Q(t) = Q_0 \times e^{k t} \]

Exemple : un désintégration radioactive où la quantité diminue de moitié en une durée, par exemple 1 an :

\[ \frac{Q(t)}{Q_0} = e^{k t} \ \Rightarrow \ k = \frac{\ln(1/2)}{1} = -\ln(2) pprox -0,693 \] p>Ce qui donne :

\[ Q(t) = Q_0 \times e^{-\ln(2) t} \]

Résumé

La fonction exponentielle modélise une croissance ou une décroissance continue lorsque la variation est proportionnelle à la quantité présente. Elle s'écrit généralement : \(Q(t) = Q_0 \times e^{k t}\), avec \(k\) positif pour la croissance, négatif pour la décroissance.