Introduction

La fonction exponentielle est une fonction mathématique qui modélise des phénomènes de croissance ou de décroissance qui se poursuivent de façon continue, sans interruption, à un rythme proportionnel à leur taille.

Définition de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle s’écrit généralement : f(x) = a · e^{k x}, où :

• a est une constante réelle représentant la valeur initiale.
• e est la base du logarithme naturel, environ 2,718.
• k est un paramètre réel qui détermine la vitesse de croissance (si k > 0) ou de décroissance (si k < 0).

Modélisation : croissance continue

Lorsque k > 0, la fonction modélise une croissance continue. Par exemple, la croissance d'une population ou d’un capital investi», avec une croissance exponentielle.

La courbe est croissante, et la valeur augmente rapidement à mesure que x augmente.

Modélisation : décroissance continue

Lorsque k < 0, la fonction modélise une décroissance continue. Cela peut représenter la désintégration radioactive ou la réduction d’un médicament dans le corps.

La courbe est décroissante, et la valeur diminue rapidement à mesure que x augmente.

Exemples

• Croissance : f(x) = 100 · e^{0,03x} modélise une croissance de 3 % par unité de temps.
• Décroissance : f(x) = 200 · e^{-0,05x} modélise une décroissance de 5 % par unité de temps.

Résumé

La fonction exponentielle est un outil puissant pour modéliser des processus de croissance ou de décroissance continue. La clé est la valeur du paramètre k qui détermine si la courbe monte ou descend avec le temps.