La fonction inverse

La fonction inverse associe à tout réel \(x\) non nul le nombre \(\frac{1}{x}\) : plus \(x\) est grand, plus \(\frac{1}{x}\) est petit, sa courbe est une hyperbole symétrique par rapport à l'origine, et elle est décroissante sur \(]-\infty\,;0[\) et sur \(]0\,;+\infty[\).

Objectifs

Connaître la définition et l'ensemble de définition de la fonction inverse.
Tracer et reconnaître sa courbe représentative, l'hyperbole, et sa symétrie.
Connaître et démontrer son sens de variation.
Comparer des inverses et encadrer \(\frac{1}{x}\) quand \(x\) est encadré.
Résoudre graphiquement et algébriquement des équations et inéquations du type \(\frac{1}{x} = k\) ou \(\frac{1}{x} < k\).

1. Définition et tableau de valeurs

\(x\)	\(-4\)	\(-2\)	\(-1\)	\(-0{,}5\)	\(0{,}25\)	\(0{,}5\)	\(1\)	\(2\)	\(4\)
\(\frac{1}{x}\)	\(-0{,}25\)	\(-0{,}5\)	\(-1\)	\(-2\)	\(4\)	\(2\)	\(1\)	\(0{,}5\)	\(0{,}25\)

Quelle est l'image de \(\frac{2}{5}\) par la fonction inverse ?

\(-\frac{2}{5}\)
\(\frac{5}{2}\)
\(\frac{1}{5}\)

\(\frac{1}{\frac{2}{5}} = \frac{5}{2} = 2{,}5\) : l'inverse d'une fraction s'obtient en échangeant numérateur et dénominateur. \(-\frac{2}{5}\) est l'opposé, pas l'inverse.

2. La courbe : une hyperbole

La courbe représentative de la fonction inverse dans un repère est appelée hyperbole. Elle est formée de deux branches, l'une pour \(x < 0\), l'autre pour \(x > 0\).

Pour x positif, on place les points du tableau : la branche descend de très haut vers l'axe des abscisses sans jamais l'atteindre.

Pour x négatif, l'image de -x est l'opposée de l'image de x : le point A'(-2 ; -0,5) correspond au point A(2 ; 0,5).

A et A' sont symétriques par rapport à l'origine O, qui est le milieu de [AA'] : toute l'hyperbole est symétrique par rapport à O.

Fais varier \(k\) pour comparer \(y = \frac{1}{x}\) (quand \(k = 1\)) avec les courbes \(y = \frac{k}{x}\). Observe que la courbe ne coupe jamais les axes.

Le point \(B(5\,;0{,}2)\) est sur l'hyperbole \(y = \frac{1}{x}\). Quel autre point y est forcément ?

\((-5\,;-0{,}2)\)
\((-5\,;0{,}2)\)
\((5\,;-0{,}2)\)

La courbe est symétrique par rapport à l'origine : le symétrique de \((5\,;0{,}2)\) est \((-5\,;-0{,}2)\). D'ailleurs \(\frac{1}{-5} = -0{,}2\).

3. Sens de variation

\(x\)	\(-\infty\)		\(0\)		\(+\infty\)
\(\frac{1}{x}\)		décroissante \(\searrow\)	valeur interdite	décroissante \(\searrow\)

Démonstration sur \(]0\,;+\infty[\)

Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(0 < a < b\). Montrons que \(\frac{1}{a} > \frac{1}{b}\).

On étudie le signe de la différence : \(\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b} = \dfrac{b}{ab} - \dfrac{a}{ab} = \dfrac{b-a}{ab}\).

Comme \(a < b\), on a \(b - a > 0\) : le numérateur est positif.

Comme \(a > 0\) et \(b > 0\), on a \(ab > 0\) : le dénominateur est positif.

Donc \(\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b} > 0\), c'est-à-dire \(\dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}\) : l'ordre est inversé, la fonction est strictement décroissante sur \(]0\,;+\infty[\). Sur \(]-\infty\,;0[\), même calcul : \(a\) et \(b\) sont négatifs, donc \(ab > 0\) encore.

Exemple résolu 1 : comparer et encadrer

(a) Comparer \(\frac{1}{0{,}7}\) et \(\frac{1}{0{,}75}\). (b) Sachant que \(2 \leq x \leq 5\), encadrer \(\frac{1}{x}\). (c) Sachant que \(-4 \leq x \leq -1\), encadrer \(\frac{1}{x}\).

Cherche d'abord, puis vois la solution

(a) \(0 < 0{,}7 < 0{,}75\) et la fonction inverse est décroissante sur \(]0\,;+\infty[\), donc \(\frac{1}{0{,}7} > \frac{1}{0{,}75}\).

(b) Les nombres sont positifs, l'ordre s'inverse : \[ \frac{1}{5} \leq \frac{1}{x} \leq \frac{1}{2}, \quad\text{soit}\quad 0{,}2 \leq \frac{1}{x} \leq 0{,}5. \]

(c) Les nombres sont négatifs, l'ordre s'inverse aussi : \[ \frac{1}{-1} \leq \frac{1}{x} \leq \frac{1}{-4}, \quad\text{soit}\quad -1 \leq \frac{1}{x} \leq -0{,}25. \]

Si \(0{,}5 \leq x \leq 4\), alors :

\(2 \leq \frac{1}{x} \leq 0{,}25\)
\(0{,}5 \leq \frac{1}{x} \leq 4\)
\(0{,}25 \leq \frac{1}{x} \leq 2\)

Sur \(]0\,;+\infty[\), on inverse et on change le sens : \(\frac{1}{4} \leq \frac{1}{x} \leq \frac{1}{0{,}5}\), soit \(0{,}25 \leq \frac{1}{x} \leq 2\). La première réponse écrit un encadrement impossible (2 n'est pas inférieur à 0,25).

4. Équations et inéquations avec \(\frac{1}{x}\)

Pour résoudre graphiquement \(\frac{1}{x} = c\), on cherche les abscisses des points d'intersection de l'hyperbole avec la droite horizontale \(y = c\). Bouge le curseur \(c\) :

Exemple résolu 2 : une inéquation

Résoudre dans \(\mathbb{R}^*\) l'inéquation \(\frac{1}{x} < 2\).

Si \(x < 0\) : \(\frac{1}{x}\) est négatif, donc toujours inférieur à 2. Tout \(x\) de \(]-\infty\,;0[\) est solution.

Si \(x > 0\) : on cherche d'abord quand \(\frac{1}{x} = 2\), c'est-à-dire \(x = \frac{1}{2}\).

Sur \(]0\,;+\infty[\), la fonction inverse est décroissante : \(\frac{1}{x} < 2 = \frac{1}{0{,}5}\) équivaut à \(x > 0{,}5\).

Ensemble des solutions : \(S = \,]-\infty\,;0[\,\cup\,]\tfrac{1}{2}\,;+\infty[\). On le vérifie avec le graphique : avec \(c = 2\), l'hyperbole est sous la droite pour \(x < 0\) et pour \(x > 0{,}5\).

Quelle est la solution de l'équation \(\frac{1}{x} = -4\) ?

\(x = 4\)
\(x = -0{,}25\)
Pas de solution

\(x = \frac{1}{-4} = -0{,}25\). Vérification : \(\frac{1}{-0{,}25} = -4\).

Erreurs fréquentes

Oublier que \(0\) n'a pas d'image (division par zéro impossible).
Confondre l'inverse \(\frac{1}{x}\) et l'opposé \(-x\).
Dire que la fonction est décroissante « sur \(\mathbb{R}^*\) » : elle l'est sur chacun des deux intervalles séparément.
Oublier de changer le sens d'un encadrement en passant aux inverses.
Multiplier une inéquation par \(x\) sans connaître son signe.

Récapitulatif

\(f(x) = \frac{1}{x}\), définie sur \(\mathbb{R}^*\) ; \(0\) est une valeur interdite.
Courbe : hyperbole à deux branches, symétrique par rapport à l'origine (fonction impaire).
Strictement décroissante sur \(]-\infty\,;0[\) et sur \(]0\,;+\infty[\) ; pour deux nombres de même signe, passer aux inverses change l'ordre.
\(\frac{1}{x} = c\) avec \(c \neq 0\) a pour unique solution \(x = \frac{1}{c}\) ; pour une inéquation, on sépare \(x < 0\) et \(x > 0\).

Ensemble de définition

Tous les réels sauf 0 : R*.

Courbe de la fonction inverse

Une hyperbole à deux branches, symétrique par rapport à l'origine.

Sens de variation

Strictement décroissante sur chacun des intervalles ]-∞ ; 0[ et ]0 ; +∞[.

Comparer des inverses

Si a et b sont de même signe et a < b, alors 1/a > 1/b.

Équation 1/x = c

Une solution x = 1/c si c ≠ 0 ; aucune solution si c = 0.