Fonction inverse - 2nde

Fonction inverse

Niveau : 2nde — Thème : Étude de fonctions de référence. Fiche synthétique et exercices.

Objectifs

Savoir définir la fonction inverse et son domaine.
Étudier ses variations, limites et asymptotes.
Reconnaître sa courbe et ses propriétés de symétrie.

Définition

La fonction inverse est la fonction f : x ↦ 1/x définie pour tous les réels x ≠ 0.

Écriture : f(x) = 1 / x.

Domaine de définition

Le domaine Df = ℝ \ {0}. Autrement dit, tous les réels sauf 0 car la division par zéro est impossible.

Signes et variations

Pour x > 0, f(x) = 1/x > 0 et la fonction est strictement décroissante (quand x augmente, 1/x diminue).

Pour x < 0, f(x) = 1/x < 0 et la fonction est strictement croissante (quand x augmente vers 0, 1/x augmente).

Résumé :

Intervalle	Signe	Variation
(-∞, 0)	négatif	croissante
(0, +∞)	positif	décroissante

Limites et asymptotes

Limite en 0 : lim_x→0+ 1/x = +∞ et lim_x→0- 1/x = -∞. Donc x = 0 est une asymptote verticale.
Limite à l'infini : lim_x→+∞ 1/x = 0 et lim_x→-∞ 1/x = 0. Donc y = 0 est une asymptote horizontale.

Asymptotes : droite verticale x = 0 ; droite horizontale y = 0.

Propriétés géométriques

La courbe représentative de f est constituée de deux branches hyperboliques situées dans les 1er et 3e quadrants.
Symétrie : la courbe est centrée en (0,0) au sens de l'origine (symétrie centrale). Formellement, f(-x) = -f(x) (fonction impaire).

Comportement simple

Effets sur la forme : multiplier x par un réel k ≠ 0 donne g(x)=1/(kx) = (1/k)·(1/x) — la courbe se rapproche/éloigne de l'axe des abscisses suivant k. Ajouter un terme (translation verticale ou horizontale) déplace la courbe et modifie les asymptotes (souvent plus complexe à étudier).

Exemples rapides

f(2) = 1/2 ; f(-1) = -1 ; f(0.1) = 10.
Pour x = 100, f(x) ≈ 0.01, proche de l'asymptote y = 0.

Exercices (avec solutions)

Exercice 1

Étudier le signe et les limites de f(x)=1/x. Représenter qualitativement la courbe et indiquer les asymptotes.

Solution

Signe : f(x) > 0 si x > 0, f(x) < 0 si x < 0. Limites : lim_x→0+ f(x) = +∞, lim_x→0- f(x) = -∞, lim_x→±∞ f(x) = 0. Asymptotes : x = 0 (verticale) et y = 0 (horizontale). Courbe : deux branches hyperboliques dans 1er et 3e quadrants, décroissante sur (0,+∞) et croissante sur (-∞,0).

Exercice 2

Résoudre 1/x < 2 pour x ≠ 0.

Solution

Étudier l'inégalité selon le signe de x :

Si x > 0, on multiplie par x (>0) : 1 < 2x ⇒ x > 1/2. Intersecter avec x > 0 donne x > 1/2.
Si x < 0, multiplier par x (négatif) inverse le sens : 1 > 2x ⇒ x < 1/2. Mais x < 0 donc tout x < 0 satisfait l'inégalité (car 1/x est négatif et donc < 2).

Solution finale : x < 0 ou x > 1/2.

Conseils pour l'étude

Commencer toujours par le domaine de définition.
Calculer les limites en 0 et ±∞ pour trouver les asymptotes.
Étudier le signe et le sens de variation en séparant les intervalles (-∞,0) et (0,+∞).
Repérer la symétrie impaire f(-x) = -f(x) pour tracer facilement la seconde branche après avoir dessiné la première.