Fonction Logarithme et Trigonométrie : Croissances comparées

Introduction

Ce cours présente la comparaison de différentes fonctions en termes de croissance lorsque la variable tend vers l'infini. Nous étudions notamment les fonctions logarithmiques, exponentielles, et trigonométriques.

1. Croissance des fonctions élémentaires

1.1 Fonction exponentielle

\(f(x) = e^{x}\) : croît très rapidement lorsque \(x o +\infty\).

1.2 Fonction logarithme

\(g(x) = \ln x\) : croît lentement, mais indéfiniment lorsque \(x o +\infty\).

1.3 Fonction polynomiale

\(h(x) = x^{n}\) avec \(n > 0\) : croît à un rythme intermédiaire entre celui du logarithme et de l'exponentielle.

1.4 Fonction trigonométrique

Fonctions comme \(\sin x\) ou \(\cos x\) oscillent et ne croissent pas en limite infinie, contrairement aux autres fonctions.

2. Comparaison de la croissance

2.1 Croissance entre fonction exponentielle et logarithme

Lorsque \(x o +\infty\), on a :

• \(\ln x = o(e^{x})\), c'est-à-dire que \(\ln x\) est négligeable devant \(e^{x}\).

2.2 Comparaison avec une fonction polynomiale

Pour \(x o +\infty\), si \(n > 1\) :

• \(x^{n} = o(e^{x})\), le polynôme est négligeable devant l'exponentielle.
• \(\ln x = o(x^{n})\), la logarithme est négligeable devant la puissance.

2.3 Croissance entre fonctions trigonométriques et autres

Les fonctions sinus et cosinus oscillent entre \(-1\) et \(1\) ; leur croissance est donc limitée, contrairement aux autres fonctions qui tendent vers l'infini ou zéro.

3. Résumé

En ordre de croissance quand \(x o +\infty\) :

1. \(\ln x\) croît lentement
2. \(x^{n}\) croît plus vite que \(\ln x\), mais moins vite que \(e^{x}\)
3. \(e^{x}\) croît très rapidement
4. Les fonctions trigonométriques oscillent sans tendance à la croissance infinie

Conclusion

Comparer la croissance des fonctions permet d'appréhender leur comportement asymptotique et de choisir la fonction adaptée à un problème donné en mathématiques ou physique.