1. Introduction au logarithme népérien

Le logarithme népérien, noté \( \ln(x) \), est la fonction inverse de la fonction exponentielle \( e^x \). Elle est définie pour \( x > 0 \) et répond à l'équation :

\[y = \ln(x) \iff x = e^y\]

2. Propriétés algébriques du logarithme népérien

• Produit : \( \ln(ab) = \ln a + \ln b \) pour \( a > 0, b > 0 \)
• Quotient : \( \ln \left(\frac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b \) pour \( a > 0, b > 0 \)
• Puissance : \( \ln(a^k) = k \ln a \) pour \( a > 0, k \in \mathbb{R} \)
• Valeurs particulières : \( \ln 1 = 0 \), puisque \( e^0 = 1 \)

3. Dérivée du logarithme népérien

La dérivée de \( \ln x \) est donnée par :

\[\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x} \quad \text{pour } x > 0\]

Cette propriété est essentielle pour étudier le comportement de fonctions logarithmiques et résoudre des équations différentielles.