1. La fonction logarithme

La fonction logarithme \(\log_a(x)\) est l’inverse de la fonction exponentielle \(a^x\). Elle est définie pour \(x > 0\) et \(a > 0, a eq 1\), par:

\[\log_a(a^x) = x \quad 	ext{et} \quad a^{\log_a(x)} = x.
\]

Par exemple, si \(a=10\), on parle du logarithme décimal, noté simplement \(\log\).

La croissance de \(\log_a(x)\) est très lente comparée à toute fonction polynomiale ou exponentielle :

• Pour \(x o +\infty\), \(\log_a(x) o +\infty\), mais très lentement.

2. La fonction trigonométrique sinus

La fonction sinus \(\sin(x)\) est périodique de période \(2\pi\) :

\[\sin(x+2\pi) = \sin(x).\]
\]

Le sinus oscille entre -1 et 1 :

• \(orall x, \quad -1 \leq \sin(x) \leq 1.\)

En termes de croissance, \(\sin(x)\) ne croît pas sur l’ensemble des réels mais présente des maxima et minima réguliers.

3. Croissances comparées

3.1 Comparaison entre \(\log(x)\) et des fonctions polynomiales

Pour \(x o +\infty\):

\[\lim_{x 	o +\infty} rac{\log_a(x)}{x^k} = 0, \quad 	ext{pour tout } k>0.\]

Ceci montre que la croissance du logarithme est très plus lente que celle de toute fonction polynomiale.

3.2 Comparaison entre \(\log(x)\) et exponentielles

Pour \(x o +\infty\):

\[\lim_{x 	o +\infty} rac{a^x}{\log_b(x)} = +\infty,\quad 	ext{avec } a>1.\]

Les exponentielles croissent beaucoup plus vite que le logarithme.

3.3 Comparaison entre fonctions trigonométriques et croissances infinies

Les fonctions sinus, cosinus oscillent dans un intervalle fini (\(-1,1\)) et ne tendent pas vers l’infini.

En résumé :

• Logarithme : croissance très lente.
• Polynômes : croissance plus rapide que le logarithme, mais plus lente que les exponentielles.
• Exponentielles : croissance très rapide.
• Fonctions trigonométriques : oscillations entre deux valeurs fixes, pas de croissance infinie.