Fonction racine carrée

La fonction racine carrée associe à tout nombre positif \( x \) le nombre positif dont le carré vaut \( x \) : elle est définie sur \( [0;+\infty[ \), croissante, et sa courbe monte de plus en plus doucement.

Objectifs

Connaître la définition et l'ensemble de définition de la fonction racine carrée.
Connaître son sens de variation, savoir le démontrer et l'utiliser pour comparer des racines.
Tracer sa courbe et la situer par rapport aux courbes de \( x \mapsto x \) et \( x \mapsto x^2 \).
Résoudre des équations et des inéquations du type \( \sqrt{x} = k \) et \( \sqrt{x} \leq k \).

1. Définition

Pour tout nombre réel \( x \geq 0 \), la racine carrée de \( x \), notée \( \sqrt{x} \), est le seul nombre positif dont le carré est égal à \( x \) :

\[ \sqrt{x} \geq 0 \quad \text{et} \quad \left(\sqrt{x}\right)^2 = x \]

La fonction racine carrée est la fonction \( f : x \mapsto \sqrt{x} \), définie sur \( [0;+\infty[ \).

Quelques valeurs à connaître :

\[ \sqrt{0} = 0, \quad \sqrt{1} = 1, \quad \sqrt{4} = 2, \quad \sqrt{9} = 3, \quad \sqrt{16} = 4, \quad \sqrt{0{,}25} = 0{,}5, \quad \sqrt{2} \approx 1{,}414 \]

Quel est l'ensemble de définition de la fonction racine carrée ?

Tous les nombres réels
Les nombres réels positifs ou nuls
Les nombres réels strictement positifs

On ne peut prendre la racine que d'un nombre positif ou nul, et 0 est autorisé car la racine de 0 vaut 0. L'ensemble de définition est donc l'intervalle de 0 inclus à plus l'infini.

2. Sens de variation

Propriété : la fonction racine carrée est strictement croissante sur \( [0;+\infty[ \). Autrement dit, pour \( 0 \leq a < b \), on a \( \sqrt{a} < \sqrt{b} \).

Démonstration

Soit \( 0 \leq a < b \). Dévoile les étapes après avoir cherché.

On utilise la quantité conjuguée : \[ \sqrt{b} - \sqrt{a} = \frac{\left(\sqrt{b} - \sqrt{a}\right)\left(\sqrt{b} + \sqrt{a}\right)}{\sqrt{b} + \sqrt{a}} = \frac{b - a}{\sqrt{b} + \sqrt{a}} \] (le dénominateur est strictement positif car \( b > 0 \)).

Le numérateur \( b - a \) est strictement positif car \( a < b \). Le dénominateur est strictement positif.

Donc \( \sqrt{b} - \sqrt{a} > 0 \), c'est-à-dire \( \sqrt{a} < \sqrt{b} \) : la fonction est strictement croissante.

Tableau de variation : \( x \) va de 0 à \( +\infty \), et \( \sqrt{x} \) croît de \( 0 \) vers \( +\infty \).

Exemple résolu : comparer sans calculatrice

Range dans l'ordre croissant : \( \sqrt{7} \), \( 3 \), \( \sqrt{5} \), \( 2 \). Cherche d'abord.

Voir la solution

On écrit \( 2 = \sqrt{4} \) et \( 3 = \sqrt{9} \). Comme \( 4 < 5 < 7 < 9 \) et que la racine carrée est croissante : \[ 2 < \sqrt{5} < \sqrt{7} < 3 \]

Si 0 ≤ a < b, que peut-on dire de √a et √b ?

√a > √b
On ne peut pas savoir
√a < √b

La fonction racine carrée est strictement croissante sur son ensemble de définition : elle conserve l'ordre.

3. Courbe représentative

On place quelques points, puis on les relie par une courbe régulière.

On place les points faciles : (0 ; 0), (1 ; 1), (4 ; 2) et (9 ; 3), car 0, 1, 4 et 9 sont des carrés parfaits.

On les relie par une courbe régulière : c'est une demi-parabole couchée, qui part de l'origine.

La courbe monte de moins en moins vite : de x = 4 à x = 9, x augmente de 5 mais √x n'augmente que de 1.

Comparer \( \sqrt{x} \), \( x \) et \( x^n \)

Fais varier l'exposant \( n \) et observe : les courbes se croisent en \( (0;0) \) et en \( (1;1) \).

Justification : \( x - \sqrt{x} = \sqrt{x}\left(\sqrt{x} - 1\right) \). Si \( x \geq 1 \), alors \( \sqrt{x} \geq 1 \) et ce produit est positif, donc \( \sqrt{x} \leq x \) ; si \( 0 \leq x \leq 1 \), il est négatif ou nul, donc \( x \leq \sqrt{x} \).

Pour x = 0,36, quel nombre est le plus grand ?

√x
x
x²

0,36 est entre 0 et 1, donc x² ≤ x ≤ √x : on a x² = 0,1296, x = 0,36 et √x = 0,6.

4. Équations et inéquations

Pour \( k \) réel :

si \( k < 0 \), l'équation \( \sqrt{x} = k \) n'a aucune solution (une racine n'est jamais négative) ;
si \( k \geq 0 \), \( \sqrt{x} = k \iff x = k^2 \) ;
si \( k \geq 0 \), \( \sqrt{x} \leq k \iff 0 \leq x \leq k^2 \) (ne pas oublier \( x \geq 0 \)) ;
si \( k \geq 0 \), \( \sqrt{x} \geq k \iff x \geq k^2 \).

Déplace le curseur \( k \) : les solutions de \( \sqrt{x} = k \) se lisent à l'intersection de la courbe et de la droite horizontale \( y = k \).

Exemple résolu

Résous : (a) \( \sqrt{x} = 3 \) ; (b) \( \sqrt{x} = -2 \) ; (c) \( \sqrt{x} < 4 \) ; (d) \( \sqrt{x} \geq 1{,}5 \). Cherche d'abord.

(a) \( 3 \geq 0 \), donc \( x = 3^2 = 9 \). Vérification : \( \sqrt{9} = 3 \). \( S = \{9\} \).

(b) \( -2 < 0 \) : aucune racine carrée n'est négative, donc \( S = \varnothing \).

(d) \( 1{,}5^2 = 2{,}25 \), donc \( \sqrt{x} \geq 1{,}5 \iff x \geq 2{,}25 \). \( S = [2{,}25;+\infty[ \).

Quel est l'ensemble des solutions de √x ≤ 5 ?

Les x tels que x ≤ 25
Les x tels que 0 ≤ x ≤ 25
Les x tels que 0 ≤ x ≤ 5

On élève au carré, ce qui donne x ≤ 25, sans oublier que x doit être positif ou nul pour que √x existe : l'intervalle va de 0 à 25, bornes comprises.

Erreurs fréquentes

Écrire \( \sqrt{9} = \pm 3 \) : la racine carrée est toujours positive.
Écrire \( \sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b} \) : c'est faux en général.
Oublier la condition \( x \geq 0 \) dans une inéquation \( \sqrt{x} \leq k \).
Croire que \( \sqrt{x} \) est toujours plus petit que \( x \) : c'est faux entre 0 et 1.

Récapitulatif

Racine carrée de x

Le nombre positif dont le carré vaut x (x positif ou nul).

Ensemble de définition

L'intervalle de 0 inclus à plus l'infini.

Sens de variation

Strictement croissante : elle conserve l'ordre des nombres positifs.

√x = k

Aucune solution si k est négatif ; sinon x = k².

Entre 0 et 1

x² ≤ x ≤ √x ; au-delà de 1, c'est l'inverse.