Fonctions de référence - 2nde

Fonctions de référence — Carré, racine carrée, cube, inverse

Objectif : connaître la définition, le domaine, l'image, les variations et les propriétés principales de chaque fonction. Savoir résoudre des équations simples et manipuler ces fonctions.

1. Rappels utiles

Domaine : ensemble des valeurs possibles de x pour lesquelles la fonction est définie.
Image (ou ensemble image) : ensemble des valeurs prises par la fonction.
Parité : f est paire si f(−x)=f(x), impaire si f(−x)=−f(x).
Monotonie : croissante ou décroissante sur un intervalle.

2. Fonction carré : f(x)=x²

Définition : f(x)=x² pour tout x∈ℝ.

Domaine : ℝ.

Image : [0,+∞[ (toutes les valeurs ≥0).

Zeros : x=0 est l'unique zéro.

Parité : paire (f(−x)=f(x)).

Variations : décroissante sur ]−∞,0], croissante sur [0,+∞[.

Graphique : parabole en « U » ayant un minimum au point (0,0).

Exemple : résoudre x²=9 ⇒ x=±3.

3. Fonction racine carrée : g(x)=√x

Définition : g(x)=√x est la racine carrée non négative de x.

Domaine : [0,+∞[ (on ne prend que les racines réelles).

Image : [0,+∞[.

Zeros : x=0.

Parité : ni paire ni impaire (définie seulement pour x≥0).

Variations : strictement croissante sur [0,+∞[.

Lien avec le carré : pour x≥0, g(x) est l'inverse de la fonction carré restreinte aux ≥0 : g(x)= (x)^1/2 et g(x)²=x.

Exemple : résoudre √x=3 ⇒ x=9.

4. Fonction cube : h(x)=x³

Définition : h(x)=x³ pour tout x∈ℝ.

Domaine : ℝ.

Image : ℝ (toutes les valeurs réelles sont atteintes).

Zeros : x=0.

Parité : impaire (h(−x)=−h(x)).

Variations : strictement croissante sur ℝ.

Graphique : courbe en S traversant l'origine, avec une branche négative et une branche positive symétriques par rapport à l'origine.

Exemple : résoudre x³=8 ⇒ x=2.

5. Fonction inverse : p(x)=1/x

Définition : p(x)=1/x pour x≠0.

Domaine : ℝ\{0}.

Image : ℝ\{0} (toutes valeurs sauf 0).

Zeros : aucune (la fonction ne s'annule jamais).

Parité : impaire (p(−x)=−p(x)).

Variations : strictement décroissante sur ]−∞,0[ et sur ]0,+∞[.

Asymptotes : verticale en x=0 et horizontale y=0.

Exemple : résoudre 1/x=2 ⇒ x=1/2.

6. Table récapitulative

Fonction	Domaine	Image	Parité	Variations
x²	ℝ	[0,+∞[	paire	↓ sur ]−∞,0], ↑ sur [0,+∞[
√x	[0,+∞[	[0,+∞[	—	↑ sur [0,+∞[
x³	ℝ	ℝ	impaire	↑ sur ℝ
1/x	ℝ\{0}	ℝ\{0}	impaire	↓ sur ]−∞,0[, ↓ sur ]0,+∞[

7. Exemples et résolutions rapides

1) Résoudre x²−4=0 ⇒ x=±2.

2) Résoudre √(x+1)=2 ⇒ x+1=4 ⇒ x=3 (vérifier domaine : x≥−1 ok).

3) Résoudre x³=−27 ⇒ x=−3.

4) Résoudre 1/(x−1)=3 ⇒ x−1=1/3 ⇒ x=4/3 (x≠1 ok).

8. Exercices (autocorrectifs)

Donner le domaine et l'image de f(x)=√(x−2).
Résoudre x²=5 et donner les solutions exactes.
Étudier la parité et la monotonie de x³−x.
Résoudre 1/x + 1/(x−2)=0 (attention au domaine).

Solutions

1) Domaine : [2,+∞[ ; Image : [0,+∞[.

2) x=±√5.

3) Fonction f(x)=x³−x. Parité : f(−x)=−f(x) donc impaire. Dérivée non vue en 2nde, mais on peut factoriser : f(x)=x(x−1)(x+1) ; signes : f change de signe en −1,0,1, la fonction est croissante sur ℝ (propriété générale du cube dominée par x³): on retient que x³ est strictement croissante et soustraire x ne change pas la croissance globale ici.

4) 1/x + 1/(x−2)=0 ⇒ (x−2 + x)/(x(x−2))=0 ⇒ (2x−2)/(x(x−2))=0 ⇒ 2x−2=0 ⇒ x=1. Vérifier domaine : x≠0 et x≠2 ⇒ x=1 est acceptable.

9. Conseils pour l'étude des fonctions

Toujours préciser le domaine avant de manipuler une expression (surtout racine et inverse).
Tracer grossièrement la courbe (minimum, maximum, asymptotes) pour visualiser.
Utiliser factorisation et propriétés de parité pour simplifier les calculs.