Fonctions de référence : Représentation graphique, équations et inéquations

1. Introduction aux fonctions de référence

Une fonction de référence est une fonction particulière dont on étudie la représentation graphique, les équations et les inéquations associées. Les principales fonctions étudiées en 2nde sont :

• La fonction affine : \( y = ax + b \)
• La fonction carré : \( y = x^2 \)
• La fonction inverse : \( y = rac{1}{x} \)

2. Représentation graphique

a) La fonction affine

La courbe représente une droite. Par exemple, pour \( y = 2x + 1 \), on trace une droite avec une pente de 2 et une ordonnée à l’origine de 1.

Fonction : \( y = 2x + 1 \)

b) La fonction carré

La courbe est une parabole. Par exemple, pour \( y = x^2 \), le sommet est à l’origine.

Fonction : \( y = x^2 \)

c) La fonction inverse

La courbe est une hyperbole. Par exemple, pour \( y = 1/x \), elle est définie pour \( x eq 0 \).

Fonction : \( y = rac{1}{x} \)

3. Résolution d’équations

a) Équation liée à une fonction

Pour résoudre une équation comme \( f(x) = k \), on cherche les valeurs de \( x \) telles que :

• Pour \( y = 2x+1 \), résoudre \( 2x + 1 = 5 \), donne \( x = 2 \).
• Pour \( y = x^2 \), résoudre \( x^2 = 4 \), donne \( x = \pm 2 \).

b) Résolution (exemple)

\( y = 2x + 1 \)
Résoudre \( 2x + 1 = 5 \)
🤔 \( 2x = 4 \)
🤔 \( x = 2 \)

4. Résolution d’inéquations

a) Exemple d’inéquation avec une fonction affine

\( 2x + 1 > 3 \)
\[ 2x > 2 \]
\[ x > 1 \]

La solution est l’ensemble \( x > 1 \). Sur le graphique, cela correspond à la partie de la droite où \( y > 3 \).

b) Exemple avec \( y = x^2 \)

\( x^2 < 4 \)
\[ -2 < x < 2 \]

Les solutions sont \( x \) compris entre \(-2\) et \(2\), excluant \(-2\) et 2.

5. Conclusion

Les représentations graphiques facilitent la résolution des équations et inéquations liées aux fonctions. La compréhension de la forme de la courbe permet d’analyser le comportement de la fonction et de résoudre les problèmes associés.