Définition

Une fraction rationnelle est une expression du type :

f(x) =   \(rac{P(x)}{Q(x)}\),

où P(x) et Q(x) sont des polynômes et Q(x) eq 0.

Domaines de définition

Le domaine d'une fraction rationnelle est l'ensemble des réels pour lesquels le dénominateur n'est pas nul :

\[ ext{D} = \{ x \in \mathbb{R} \,|\, Q(x) eq 0 \} \]

Calcul et simplification

Pour simplifier une fraction rationnelle, on peut factoriser le numérateur et le dénominateur, puis réduire par leur plus grand commun diviseur (PGCD).

Exemple :

\( rac{6x}{9} = rac{6 imes x}{3 imes 3} = rac{2x}{3} \)

Opérations

Addition et soustraction

Pour additionner ou soustraire deux fractions rationnelles, il faut mettre au même dénominateur :

\[ rac{P_{1}(x)}{Q_{1}(x)} \pm rac{P_{2}(x)}{Q_{2}(x)} = rac{P_{1}(x) imes Q_{2}(x) \pm P_{2}(x) imes Q_{1}(x)}{Q_{1}(x) imes Q_{2}(x)} \]

Multiplication

On multiplie numérateurs et dénominateurs :

\[ rac{P_{1}(x)}{Q_{1}(x)} imes rac{P_{2}(x)}{Q_{2}(x)} = rac{P_{1}(x) imes P_{2}(x)}{Q_{1}(x) imes Q_{2}(x)} \]

Division

On multiplie par l'inverse :

\[ rac{P_{1}(x)}{Q_{1}(x)} \div rac{P_{2}(x)}{Q_{2}(x)} = rac{P_{1}(x)}{Q_{1}(x)} imes rac{Q_{2}(x)}{P_{2}(x)} \]

Exemple d'application

Considérons la fonction :

\[ f(x) = rac{2x + 1}{x - 3} \]

Son domaine est :

\[ ext{D} = \mathbb{R} \setminus \{ 3 \} \]

Pour étudier sa croissance ou ses limites, on peut utiliser la dérivée ou calculer des limites lorsque x tend vers 3 ou \(\pm \infty\).