Introduction

Une fraction rationnelle est le rapport de deux polynômes, c'est-à-dire une expression de la forme f(x) = P(x) / Q(x), où P(x) et Q(x) sont des polynômes et Q(x) ≠ 0.

Définition

Une fraction rationnelle est une fonction définie sur un ensemble dont l'ensemble de définition exclut les valeurs de x rendant Q(x) nul.

Exemples

• f(x) = (2x + 1) / (x - 3)
• f(x) = 1 / (x^2 + 1)
• f(x) = (x^2 - 4) / (x + 2)

Étude des fractions rationnelles

Pour étudier une fonction rationnelle :

• Identifier le domaine : exclure les valeurs de x qui annulent le dénominateur.
• Étudier le signe et le comportement à l'infini : limite lorsque x tend vers +∞ et -∞.
• Rechercher les asymptotes :
  • Asymptote verticale : lorsque le dénominateur s'annule.
  • Asymptote horizontale ou oblique : limite de la fonction à l'infini.

Exemple d’étude

Étudions la fonction :
f(x) = (2x + 3) / (x - 1)

• Domaine : x ∈ ℝ, x ≠ 1
• Asymptote verticale : x = 1
• Limite lorsque x → ∞ : f(x) ≈ 2)
• Limite lorsque x → -∞ : f(x) ≈ 2)

Conclusion

Les fractions rationnelles sont importantes en mathématiques pour modéliser des situations où une grandeur dépend d'une autre selon un rapport. Leur étude implique la détermination du domaine, l’analyse de leur comportement et l’identification des asymptotes.